Question

已知：如圖，⊙A與y軸交于C、D兩點(diǎn)，圓心A的坐標(biāo)為（1，0），⊙A的半徑為

5

，過點(diǎn)C作⊙A的切線交x軸于點(diǎn)B（-4，0）．

（1）求切線BC的解析式；
（2）若點(diǎn)P是第一象限內(nèi)⊙A上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙A的切線與直線BC相交于點(diǎn)G，且∠CGP=120°，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；
（3）向左移動(dòng)⊙A（圓心A始終保持在x軸上），與直線BC交于E、F，在移動(dòng)過程中是否存在點(diǎn)A，使△AEF是直角三角形？若存在，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接AC，由于BC與⊙A相切，則AC⊥BC，在Rt△ABC中，OC⊥AB，根據(jù)射影定理即可求得OC的長，從而得到C點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式．
（2）可設(shè)出G點(diǎn)的坐標(biāo)（設(shè)橫坐標(biāo)，利用直線BC的解析式表示縱坐標(biāo)），連接AP、AG；由于GC、GP都是⊙A的切線，那么∠AGC=∠ABP=60°，在Rt△AGC中，AC的長易求得，根據(jù)∠AGC的度數(shù)，即可求得AG的長；過G作GH⊥x軸于H，在Rt△GAH中，可根據(jù)G點(diǎn)的坐標(biāo)表示出AH、GH的長，進(jìn)而由勾股定理求得G點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）若⊙A與直線交于點(diǎn)E、F，則AE=AF，如果△AEF是直角三角形，則∠EAF必為直角，那么△EAF是以A為頂點(diǎn)的等腰直角三角形，因此可分作兩種情況考慮：
①點(diǎn)A在B點(diǎn)右側(cè)時(shí)，可過A作直線BC的垂線，設(shè)垂足為M，在（2）題已經(jīng)求得了⊙A的半徑，即可得到AM的長，易證得△BAM∽△BCO，通過相似三角形所得比例線段即可求得AB的長，進(jìn)而可得到OA的長，從而得出A點(diǎn)的坐標(biāo)；
②點(diǎn)A在B點(diǎn)左側(cè)時(shí)，方法同①．

解答：解：（1）如圖1所示，連接AC，則AC=

5

，
在Rt△AOC中，AC=

5

，OA=1，則OC=2，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2）；
設(shè)切線BC的解析式為y=kx+b，它過點(diǎn)C（0，2），B（-4，0），
則有

b=2 -4k+b=0

，解之得

k= 1 2 b=2

；
∴y=

1

2

x+2．（4分）

（2）如圖1所示，設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為（a，c），過點(diǎn)G作GH⊥x軸，垂足為H點(diǎn)，
則OH=a，GH=c=

1

2

a+2，（5分）
連接AP，AG；
因?yàn)锳C=AP，AG=AG，所以Rt△ACG≌Rt△APG（HL），
所以∠AGC=

1

2

×120°=60°，
在Rt△ACG中，∠AGC=60°，AC=

5

，
∴sin60°=

AC

AG

，∴AG=

2 15

3

；（6分）
在Rt△AGH中，AH=OH-OA=a-1，GH=

1

2

a+2，
∵AH²+GH²=AG²，
∴（a-1）²+(

1

2

a+2)2=(

2 15

3

)2，
解之得：a₁=

2 3

3

，a₂=-

2 3

3

（舍去）；（7分）
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（

2 3

3

，

3

3

+2）．（8分）

（3）如圖2所示，在移動(dòng)過程中，存在點(diǎn)A，使△AEF為直角三角形．（9分）
要使△AEF為直角三角形，∵AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE≠90°，∴只能是∠EAF=90°；
當(dāng)圓心A在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，過點(diǎn)A作AM⊥BC，垂足為點(diǎn)M，
在Rt△AEF中，AE=AF=

5

，
則EF=

10

，AM=

1

2

EF=

1

2

10

；
在Rt△OBC中，OC=2，OB=4，則BC=2

5

，
∵∠BOC=∠BMA=90°，∠OBC=∠OBM，
∴△BOC∽△BMA，
∴

OC

AM

=

BC

AB

，
∴AB=

5

2

2

，
∴OA=OB-AB=4-

5

2

2

，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4+

5

2

2

，0）；（11分）
當(dāng)圓心A在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，設(shè)圓心為A′，過點(diǎn)A′作A′M′⊥BC于點(diǎn)M′，可得：
△A′M′B≌△AMB，A′B=AB=

5

2

2

，
∴OA′=OB+A′B=4+

5

2

2

，
∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（-4-

5

2

2

，0）；
綜上所述，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4+

5

2

2

，0）或（-4-

5

2

2

，0）．（13分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查的知識(shí)點(diǎn)有：一次函數(shù)解析式的確定、勾股定理、切線的性質(zhì)、切線長定理、全等三角形及相似三角形的判定和性質(zhì)等；需要注意的是（3）題中，一定要考慮到點(diǎn)A在B點(diǎn)左側(cè)時(shí)的情況，以免漏解．