Question

已知，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC為⊙O的直徑，弦DB⊥AC，垂足為M，過點D作⊙O的切線，交BA的延長線于點E，若AC=10，tan∠DAE=，求DB和DE的長．

Answer 1

解：連接OD，BC，
∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，
∴∠DAE=∠DCB，
∵AC為⊙O的直徑，弦DB⊥AC，
∴DB=2DM，弧AD=弧AB，
∴∠1=∠2，AD=AB；
又∠3=2∠1，
∴∠3=∠BCD=∠DAE．
∴tan∠3=tan∠DAE=，
∵AC=10，
∴OD=5；
在Rt△ODM中，設DM=4x，得OM=3x，
由勾股定理，得DM²+OM²=OD²．
∴（4x）²+（3x）²=5²．取正數(shù)解，得x=1，
∴OM=3x=3，DM=4x=4，
∴DB=2DM=8．
∵OM=3，
∴AM=OA-OM=2．
在Rt△AMD中，由勾股定理，得AD==2．
∵ED是⊙O的切線，
∴∠EDA=∠EBD；
又∠BED為公用角，
∴△EDA∽△EBD，
∴==，
∴EA=DE．
∵DE²=EA•EB=EA（EA+AB）=EA（EA+AD）=EA²+EA•AD．
∴DE²=（ED）²+DE•2．
解關(guān)于DE的方程，得DE=．
分析：連接OD，先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠DAE=∠DCB，再根據(jù)圓中的基本性質(zhì)求出tan∠DOA=tan∠DAE=，利用Rt△AMD中的勾股定理，得AD=2．易證EDA∽△EBD，利用相似比=求出EA=DE．用DE²=EA²+EA•AD作為相等關(guān)系解關(guān)于DE的方程，可得DE=．
點評：主要考查了切線的性質(zhì)和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．要掌握這些基本性質(zhì)并能準確的作出輔助線找到所求的未知量與已知條件之間的間接聯(lián)系，能靈活地運用直角三角形的性質(zhì)求解．