如圖,拋物線y=a(x+1)(x-5)與x軸的交點(diǎn)為M、N.直線y=kx+b
與x軸交于P(-2,0),與y軸交于C.若A、B兩點(diǎn)在直線y=kx+b上,且AO=BO=,AO⊥BO.D為線段MN的中點(diǎn),OH為Rt△OPC斜邊上的高.
1.OH的長度等于___________;k=___________,b=____________;
2.是否存在實(shí)數(shù)a,使得拋物線y=a(x+1)(x-5)上有一點(diǎn)E,滿足以D、N、E為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似?若不存在,說明理由;若存在,求所有符合條件的拋物線的解析式,同時(shí)探索所求得的拋物線上是否還有符合條件的E點(diǎn)(簡要說明理由);并進(jìn)一步探索對符合條件的每一個(gè)E點(diǎn),直線NE與直線AB的交點(diǎn)G是否總滿足PB·PG<,寫出探索過程.
1.OH=1;k=,b=
2.存在。略
3.
解析:此題是關(guān)于函數(shù)的綜合題,有一定難度。
解:(1)OH=1;k=,b=; (各1分)
(2)設(shè)存在實(shí)數(shù)a,是拋物線y=a(x+1)(x-5)上有一點(diǎn)E,滿足以D、N、E為頂點(diǎn)的三角形與等腰直角△AOB相似∴以D、N、E為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形,且這樣的三角形最多只有兩類,一類是以DN為直角邊的等腰直角三角形,另一類是以DN為斜邊的等腰直角三角形.
①若DN為等腰直角三角形的直角邊,則ED⊥DN.
由拋物線y=a(x+1)(x-5)得:M(-1,0),N(5,0)
∴D(2,0),∴ED=DN=3,∴E的坐標(biāo)是(2,3).
把E(2,3)代入拋物線解析式,得a=
∴拋物線解析式為y=(x+1)(x-5)
即y=x2+x+ (2分)
②若DN為等腰直角三角形的斜邊,則DE⊥EN,DE=EN.
∴E的坐標(biāo)為(3.5,1.5)
把E(3.5,1.5)代入拋物線解析式,得a=.
∴拋物線解析式為y=(x+1)(x-5),即y=x2+x+ (2分)
當(dāng)a=時(shí),在拋物線y=x2+x+上存在一點(diǎn)E(2,3)滿足條件,如果此拋物線上還有滿足條件的E點(diǎn),不妨設(shè)為E’點(diǎn),那么只有可能△DE’N是以DN為斜邊的等腰直角三角形,由此得E’(3.5,1.5).顯然E’不在拋物線y=x2+x+上,因此拋物線y=x2+x+上沒有符合條件的其他的E點(diǎn). (1分)
當(dāng)a=時(shí),同理可得拋物線y=x2+x+上沒有符合條件的其他的E點(diǎn).
(1分)
當(dāng)E的坐標(biāo)為(2,3),對應(yīng)的拋物線解析式為y=x2+x+時(shí).
∵△EDN和△ABO都是等腰直角三角形,∴∠GNP=∠PBO=45°.
又∵∠NPG=∠BPO,∴△NPG∽△BPO.
∴,∴PB·PG=PO·PN=2×7=14,∴總滿足PB·PG<. (2分)
當(dāng)E的坐標(biāo)為(3.5,1.5),對應(yīng)的拋物線解析式為y=x2+x+時(shí),
同理可證得:PB·PG=PO·PN=2×7=14,∴總滿足PB·PG<.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2012年初中畢業(yè)升學(xué)考試(山東濟(jì)寧卷)數(shù)學(xué)(帶解析) 題型:解答題
如圖,拋物線y=ax2+bx-4與x軸交于A(4,0)、B(-2,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)P是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)(端點(diǎn)除外),過點(diǎn)P作PD∥AC,交BC于點(diǎn)D,連接CP.女女
【小題1】求該拋物線的解析式;
【小題2】當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何處時(shí),BP2=BD•BC;
【小題3】當(dāng)△PCD的面積最大時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年四川樂山市區(qū)中考模擬數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
如圖,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A(x1,0)、B(x2,0)兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),對稱軸與拋物線相交于點(diǎn)P,與直線BC相交于點(diǎn)M,連接PB.已知x1、x2
恰是方程的兩根,且sin∠OBC=.
1.求該拋物線的解析式;
2.拋物線上是否存在一點(diǎn)Q,使△QMB與△PMB的面積相等,若存在,求點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,說明理由
3.在第一象限、對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在一點(diǎn)R,使△RPM與△RMB的面積相等,若存在,直接寫出點(diǎn)R的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年福建省九年級下學(xué)期第一次統(tǒng)考數(shù)學(xué)卷 題型:解答題
(14分)如圖,拋物線:y=ax2+bx+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為D(1,0),
1.(1)求拋物線的解析式;
2.(2)如圖1,將拋物線向右平移1個(gè)單位,向下平移1個(gè)單位得到拋物線,直線,
經(jīng)過點(diǎn)D交y軸于點(diǎn)A,交拋物線于點(diǎn)B,拋物線的頂點(diǎn)為P,求△DBP的面積;
3.如圖2,連結(jié)AP,過點(diǎn)B作BC⊥AP于C,設(shè)點(diǎn)Q為拋物線上點(diǎn)至點(diǎn)之間的一動(dòng)點(diǎn),
連結(jié) 并延長交于點(diǎn),試問:當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),△BCF的面積為。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2012屆浙江省杭州市九年級第一次中考模擬考試數(shù)學(xué)卷 題型:選擇題
(本題滿分12分)如圖,拋物線y=a(x+1)(x-5)與x軸的交點(diǎn)為M、N.直線y=kx+b
與x軸交于P(-2,0),與y軸交于C.若A、B兩點(diǎn)在直線y=kx+b上,且AO=BO=,AO⊥BO.D為線段MN的中點(diǎn),OH為Rt△OPC斜邊上的高.
(1)OH的長度等于___________;k=___________,b=____________;
(2)是否存在實(shí)數(shù)a,使得拋物線y=a(x+1)(x-5)上有一點(diǎn)E,滿足以D、N、E為頂
點(diǎn)的三角形與△AOB相似?若不存在,說明理由;若存在,求所有符合條件的拋物線的解析式,同時(shí)探索所求得的拋物線上是否還有符合條件的E點(diǎn)(簡要說明理由);并進(jìn)一步探索對符合條件的每一個(gè)E點(diǎn),直線NE與直線AB的交點(diǎn)G是否總滿足PB·PG<,寫出探索過程.
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