Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分線，BM平分∠ABC交AE于點(diǎn)M，經(jīng)過B、M兩點(diǎn)的⊙O交BC于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)F，F(xiàn)B恰為⊙O的直徑．
（1）判斷AE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）當(dāng)BC=4，AC=3CE時(shí)，求⊙O的半徑．

Answer 1

解：（1）AE與⊙O相切．
理由如下：
連接OM，則OM=OB，
∴∠OMB=∠OBM．
∵BM平分∠ABC，
∴∠OBM=∠EBM．
∴∠OMB=∠EBM．
∴OM∥BC．
∴∠AMO=∠AEB．
在△ABC中，AB=AC，AE是角平分線，
∴AE⊥BC．
∴∠AEB=90°．
∴∠AMO=90°．
∴OM⊥AE．
∴AE與⊙O相切；

（2）在△ABC中，AB=AC，AE是角平分線，
∴BE=BC，∠ABC=∠C．
∵BC=4，cosC=，
∴BE=2，cos∠ABC=．
在△ABE中，∠AEB=90°，
∴．
設(shè)⊙O的半徑為r，則AO=6-r．
∵OM∥BC，
∴△AOM∽△ABE．
∴．
∴．
解得：r=
∴⊙O的半徑為．
分析：（1）AE與⊙O相切，利用圓的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明∠AMO=90°，即OM⊥AE即可；
（2）設(shè)⊙O的半徑為r，則AO=6-r利用等腰三角形的性質(zhì)和解直角三角形的有關(guān)知識(shí)以及利用平行線判定三角形相似和相似三角形的性質(zhì)即可求出r的值．
點(diǎn)評：此題綜合運(yùn)用了等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定及性質(zhì)、切線的判定、相似三角形的判定和性質(zhì)以及解直角三角形的知識(shí)．連接過切點(diǎn)的半徑是圓中常見的輔助線之一．