Question

已知：如圖，在直角坐標系xOy中，點A（8，0）、B（0，6），點C在x軸的負半軸上，AB=AC．動點M在x軸上從點C向點A移動，動點N在線段AB上從點A向點B移動，點M、N同時出發(fā)，且移動的速度都為每秒1個單位，移動時間為t秒（0＜t＜10）．
（1）設△AMN的面積為y，求y關于t的函數(shù)關系解析式；
（2）求四邊形MNBC的面積最小是多少？
（3）求時間t為何值時，△AMN是等腰三角形？

Answer 1

【答案】分析：（1）過N作NF⊥AC于F，求出OA=8，OB=6，AB=10，AC=10，根據(jù)sin∠BAC==求出NF=t，根據(jù)三角形面積公式求出即可；
（2）根據(jù)y=-t²+3t=-（t-5）²+，求出△AMN的面積的最大值，根據(jù)三角形ABC的面積即可求出答案；
（3）AN=t，CM=t，AM=10-t，分為三種情況：①當AM=AN時，10-t=t，②當AM=MN時，作ME⊥AB于E，求出AE=（10-t），且AE=AN，得出方程（10-t）=t，求出方程的解即可；③當AN=MN時，過N作NF⊥AC于F，cos∠BAC==求出AF=t，且AM=2AF，得出方程10-t=t，求出方程的解即可．
解答：解：（1）如圖1，過N作NF⊥AC于F，
∵A（8，0）、B（0，6），
∴OA=8，OB=6，
由勾股定理得：AB=10，
∵AB=AC，
∴AC=10，
sin∠BAC==，
∴=，
∴NF=t，
∴y=×AM×NF=•（10-t）•t，
y=-t²+3t；

（2）∵y=-t²+3t=-（t-5）²+，
∴△AMN的面積的最大值是平方單位，
∴四邊形MNBC的面積的最小值是S_△ABC-=×10×6-=平方單位；

（3）根據(jù)已知得：AN=t，CM=t，AM=10-t，
分為三種情況：①當AM=AN時，10-t=t，
t=5；
②當AM=MN時，如圖2，
作ME⊥AB于E，
cos∠BAC==，
∴=，
AE=（10-t），且AE=AN，
∴（10-t）=t，
t=；

③當AN=MN時，如圖3，
過N作NF⊥AC于F，
cos∠BAC==，
∴=，
∴AF=t，且AM=2AF，
∴10-t=t，
t=，
即時間t為5秒或秒或秒時，△AMN是等腰三角形．
點評：本題考查了解直角三角形，三角形面積，二次函數(shù)的最值，等腰三角形的性質的應用，主要考查學生綜合運用性質盡計算的能力，用了分類討論思想．