Question

(滿分l4分)如圖，已知AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為點H．
(1)求證：AH·AB=AC²；
(2)若過點A的直線與弦CD(不含端點)相交于點E，與⊙O相交于點F，求證：AE·AF=AC²；
(3)若過點A的直線與直線CD相交于點P，與⊙O相交于點Q，判斷AP·AQ=AC²是否成立(不必證明)．

Answer 1

(1)證明：連結(jié)CB，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°．           ……2分

而∠CAH=∠BAC，∴△CAH∽△BAC．                                  ……4分
∴，即AH·AB=AC²．           ……5分
(2)證明：連結(jié)FB，易證△AHE∽△AFB，    ……8分
∴AE·AF=AH·AB，                       ……10分
∴AE·AF=AC²．                          ……12分
(也可連結(jié)CF，證△AEC∽△ACF)
(3)結(jié)論AP·AQ=AC²成立．

略