Question

有一張長(zhǎng)比寬多8cm的矩形紙板．如果在紙板的四個(gè)角處各剪去一個(gè)正方形（如圖所示），可制成高是4cm，容積是512cm³的一個(gè)無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒．
（1）求矩形紙板的長(zhǎng)和寬；
（2）在操作過(guò)程中，由于不小心，矩形紙板被剪掉一角，其直角邊長(zhǎng)分別為3cm和6cm．如果在剩余的紙板上先裁剪一個(gè)各邊與原矩形紙板各邊平行或重合的矩形，然后再按如圖裁剪方式制作高仍是4cm的無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒，那么你認(rèn)為如何裁剪才能使制作的長(zhǎng)方體紙盒的容積最大，請(qǐng)畫出草圖，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出矩形紙板的寬，根據(jù)長(zhǎng)比寬多8cm，即可表示出紙板的長(zhǎng)，然后根據(jù)長(zhǎng)方體紙盒的容積列方程求出紙板的長(zhǎng)和寬．
（2）首先根據(jù)已知條件畫出草圖，設(shè)能夠裁剪的矩形為CGHP，并延長(zhǎng)GH交ND于M，由于HM∥AM，易證得△HME∽△ANE，可得關(guān)于HM、AN、ME、NE的比例關(guān)系式，然后分兩種情況考慮：
①當(dāng)3cm的邊在BN上時(shí)，可設(shè)NM為x，根據(jù)上面得到的比例線段，可求得HM的表達(dá)式，進(jìn)而可表示出HG的長(zhǎng)，HP的長(zhǎng)易求得，然后根據(jù)（1）題的計(jì)算方法，表示出長(zhǎng)方體紙盒的容積，即可得到關(guān)于紙盒容積和NM長(zhǎng)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)以及自變量的取值范圍，即可得到長(zhǎng)方體紙盒的最大容積及對(duì)應(yīng)的NM即BG的長(zhǎng)；
②當(dāng)6cm的邊在BN上時(shí)，解法同①；
然后比較兩種情況下，所得長(zhǎng)方體紙盒的最大容積，即可確定裁剪方案．

解答：解：（1）設(shè)矩形紙板的寬為xcm，則長(zhǎng)為（x+8）cm．（1分）
根據(jù)題意，得4（x-8）（x+8-8）=512，（3分）
解得，x₁=16，x₂=-8（不合題意，舍去）（4分）
∴x+8=24（cm）．（5分）
答：矩形紙板的長(zhǎng)和寬分別24cm，16cm．

（2）設(shè)所裁剪的矩形是CGHP，延長(zhǎng)GH交ND于點(diǎn)M
∵HM∥BN，
∴△HME∽△ANE，
∴

HM

AN

=

ME

NE

．
分兩種情況：
當(dāng)3cm的邊在BN上時(shí)（如圖1）（6分）
設(shè)NM為x，則

HM

3

=

6-x

6

．
∴HM=3-

x

2

，∴GH=16-（3-

x

2

）=13+

x

2

；
∴V=4（13+

x

2

-8）（24-x-8）（8分）
=-2（x²-6x-160）=-2（x-3）²+338．
∴當(dāng)NM為3cm時(shí)，長(zhǎng)方體紙盒的容積最大．（9分）
當(dāng)6cm的邊在BN上時(shí)（如圖2）．（10分）
設(shè)NM為x，
∴

HM

6

=

3-x

3

，∴HM=6-2x
∴GH=16-（6-2x）=10+2x，
∴V=4（10+2x-8）（24-x-8），
=-8（x-7.5）²+578．（11分）
∵0≤x≤3，且-8＜0，∴V隨x增大而增大，
∴當(dāng)NM為3cm時(shí)，長(zhǎng)方體紙盒的容積最大．（12分）
綜上所知，在BC上取點(diǎn)G，使BG=3cm，這樣裁剪的矩形GHPC能使所制作的長(zhǎng)方體紙盒的容積最大．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及二次函數(shù)最值的應(yīng)用；要注意的是（2）題中，3cm、6cm的邊都有可能在BN上，因此要分類討論，不要漏解．