Question

一園林設(shè)計(jì)師要使用長度為4L的材料建造如圖1所示的花圃，該花圃是由四個(gè)形狀、大小完全一樣的扇環(huán)面組成，每個(gè)扇環(huán)面如圖2所示，它是以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)同心圓弧和延長后通過O點(diǎn)的兩條直線段圍成，為使得綠化效果最佳，還須使得扇環(huán)面積最大．
（1）求使圖1花圃面積為最大時(shí)R-r的值及此時(shí)花圃面積，其中R、r分別為大圓和小圓的半徑；
（2）若L=160m，r=10m，求使圖2面積為最大時(shí)的θ值．

Answer 1

分析：（1）要求圖1花圃面積，就要求出一個(gè)大扇形減一個(gè)小扇形的面積，然后再利用函數(shù)分析討論最大值．
設(shè)圖2扇環(huán)的圓心角為θ，面積為S，根據(jù)題意得：L=

θπR

180

+

θπr

180

+2（R-r）=θ•

π(R+r)

180

+2（R-r）．求出θ，S的關(guān)系式．最后可求得S在R-r=

L

4

時(shí)為最大，最大值為

L2

16

．
（2）把值代入上式計(jì)算即可．根據(jù)（1）可得當(dāng)R-r=

L

4

時(shí)，S取值最大．把L的值代入可得解．

解答：解：（1）若使形如圖1花圃面積為最大，則必定要求圖2扇環(huán)面積最大．
設(shè)圖2扇環(huán)的圓心角為θ，面積為S，根據(jù)題意得：L=

θπR

180

+

θπr

180

+2（R-r），（2分）
L=θ•

π(R+r)

180

+2（R-r）
180L-360（R-r）=π（R+r）θ
∴θ=

180[L-2(R-r)]

π(R+r)

．（3分）
∴S=

θπR2

360

-

θπr2

360

=

π

360

•θ•(R2-r2)（4分）
=

π

360

•

180[L-2(R-r)]

π(R+r)

•(R2-r2)
=

1

2

[L-2（R-r）]•（R-r）=-[（R-r）-

L

4

]²+

L2

16

．（5分）
∵式中0＜R-r＜

L

2

，
∴S在R-r=

L

4

時(shí)為最大，最大值為

L2

16

．（6分）
∴花圃面積最大時(shí)R-r的值為

L

4

，最大面積為

L2

16

×4=

L2

4

．（7分）．

（2）∵當(dāng)R-r=

L

4

時(shí)，S取值最大，
∴R-r=

L

4

=

160

4

=40（m），R=40+r=40+10=50（m）．（8分）
∴θ=

180[L-2(R-r)]

π(R+r)

=

180×(160-2×40)

π×60

=

240

π

（度）．（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了扇形的面積計(jì)算和函數(shù)有關(guān)知識(shí)．