Question

【題目】在矩形ABCD中，G為AD上一點(diǎn)，連接BG，CG，作CE⊥BG于點(diǎn)E，連接ED交GC于點(diǎn)F．

（1）如圖1，若點(diǎn)G為AD的中點(diǎn)，則線段BG與CG有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)理由．

（2）如圖2，若點(diǎn)E恰好為BG的中點(diǎn)，且AB=3，AG=k（0＜k＜3），求的值（用含k的代數(shù)式表示）；

（3）在（2）有條件下，若M、N分別為GC、EC上的任意兩點(diǎn)，連接NF、NM，當(dāng)k=時(shí)，求NF+NM的最小值．

Answer 1

【答案】（1）GB=GC．理由見解析；（2）=；（3）NF+NM的最小值是．

【解析】

1）結(jié)論：GB=GC．證明△BAG≌△CDG即可；

（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，得到BC=，過(guò)G作GH⊥GD交DE于H，推出G，E．C，D四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓周角定理得到∠GDH=∠GCE=∠BCE=∠ABG，根據(jù)相似三角形得，即可得到結(jié)論；

（3）把k=代入，過(guò)F作FJ⊥BC于J交CE于N，反向延長(zhǎng)交AD于H，則FH⊥AD，過(guò)N作NM⊥PC于M，則NF+NM的最小值即為FJ的長(zhǎng)，即可得到結(jié)論．

（1）結(jié)論：GB=GC．

理由：∵四邊形ABCD是矩形，

∵AB=DC，∠A=∠CDG=90°，

∵GA=GD，

∴△BAG≌△CDG（SAS），

∴BG=CG．

（2）解：在矩形ABCD中，

∵∠A=∠ABC=90°，

∵CE⊥BG，

∴∠CEB=90°，

∴∠A=∠CEB，

∴∠AGB+∠ABG=∠ABG+∠GBC=90°，

∴∠AGB=∠GBC，

∴△ABG∽△ECB；

∴=，

∵BG=，E為BG的中點(diǎn)，

∴BE=，

∴BC=，

如圖1，過(guò)G作GH⊥GD交DE于H

∴GD=BC-AG=，

∵∠BEC=∠ADC=90°，

∴G，E．C，D四點(diǎn)共圓，

∴∠GDH=∠GCE=∠BCE=∠ABG，

∴△AGB∽△GHD，

∴=，

∴GH=，

∴==，

∴==；

（3）當(dāng)k=時(shí)，=，

如圖2，過(guò)F作FJ⊥BC于J交CE于N，反向延長(zhǎng)交AD于H，

則FH⊥AD，過(guò)N作NM⊥PC于M，

∴NF+NM的最小值即為FJ的長(zhǎng)，

∴==，

∴=，∵HJ=CD=AB=3，

∴FJ=，

即NF+NM的最小值是．