Question

如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BD是⊙O的直徑，AE⊥CD交CD的延長線于點E，DA=DC，∠DBC=30°，DC=4cm．
（1）求BD的長；
（2）求圖中陰影部分的面積．（結果保留根號和π）

Answer 1

解：（1）∵BD是⊙O的直徑，
∴∠BCD=90°，
又∵∠DBC=30°，
∴BD=2DC=2×4=8（cm）；

（2）連接AO，
∵DA=DC，
∴AD=AO=DO=4cm，
∴△AOD是等邊三角形，
∴∠AOD=60°，
∴S_弓形AD=S_扇形AOD-S_△AOD=-×4×2=π-4（cm²），
由題意可得：∠BDC=60°，
則∠ADE=60°，
又∵AE⊥CD，
∴∠EAD=30°，
∴DE=AD=2cm，
∴AE=2cm，
∴圖中陰影部分的面積為：2×2-（π-4）=6-π（cm²）．
分析：（1）利用圓周角定理得出∠BCD=90°，進而得出BD的長；
（2）首先求出S_弓形AD=S_扇形AOD-S_△AOD的面積，進而得出AE，DE的長，即可得出答案．
點評：此題主要考查了圓周角定理以及等邊三角形的性質(zhì)和扇形面積公式等知識，根據(jù)題意得出弓形AD的面積是解題關鍵．