Question

如圖，已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝，AB＝8，CD＝6，BC＝．在AB邊上取動點P，連結(jié)DP，作PQ⊥DP，使PQ交射線BC于點E．設(shè)AP＝x，BE＝y(tǒng)．

(1)試寫出y關(guān)于自變量x的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量x的取值范圍)；

(2)如果在線段AB上能找到不同的兩點P₁、P₂，使按上述作法作得的點E都與點C重合，試求m的取值范圍，并用m表示相應(yīng)的AP₁、AP₂的長．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)過點D作DF⊥AB，垂足為F，易證△BPE∽△FDP． 　　∴＝，即＝． 　　∴y＝－(x2－10x＋16)． 　　此即y關(guān)于自變量x的函數(shù)關(guān)系式． 　　(2)當(dāng)E點與C點重合時，即y＝，則有x2－10x＋16＋m＝0． 　　據(jù)題意，m的取值應(yīng)使這個關(guān)于x的方程有兩個相異實根，且使點P1、P2都在線段AB上，于是有Δ＝(－10)2－4(16＋m)＝36－4m＞0，解之得m＜9．又據(jù)題意知m＞0，所以m的取值范圍為0＜m＜9．而 　　x＝＝5±． 　　當(dāng)0＜m＜9時，0＜9－m＜9，∴0＜＜3，∴2＜5±＜8，符合題意，故AP1＝5＋，AP2＝5－，或AP1＝5－，AP2＝5＋．

提示：

本題與上題在題型以及所考查的知識點方面有很多相近之處．需要注意的是，本題求得的函數(shù)關(guān)系式中，除含有自變量x外，還有一個以字母表示的量，這就是m．由于m也是可以變化的，所以所得的表達式也可以看成是x、m、y三個變量所滿足的一個關(guān)系式．在第(2)小題中，要求點E與點C重合，這就相當(dāng)于在上述關(guān)系式中令y＝，于是得到一個含參數(shù)m的關(guān)于x的二次方程，而所要求的AP1、AP2的長就是該方程的兩個相異的實數(shù)根．這樣，問題就轉(zhuǎn)化為一個二次方程的根的討論問題．需要注意的是，在求得AP1、AP2的長以后，必須考慮P1、P2是否在線段AB上，即在0＜m＜9的條件下，估計AP1、AP2的取值范圍．這里主要涉及不等式的一些性質(zhì)，經(jīng)過討論，問題才算得到圓滿的解答．