Question

如圖，在△ABC中AC=BC，∠ACB=90°，以BC為直徑作⊙O，連接OA，交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)D點(diǎn)作⊙O的切線交AC于點(diǎn)E，連接B、D并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F．則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）

A．△ADE∽△ACO
B．△AOC∽△BFC
C．△DEF∽△DOC
D．CD²=DF•DB

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)相似三角形的判定定理，對(duì)各選項(xiàng)的三角形進(jìn)行分析證明，然后利用排除法求解．
解答：解：A、∵DE是⊙O的切線，
∴∠ADE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ADE=∠ACB，
∵∠DAE=∠CAO，
∴△ADE∽△ACO；
故本選項(xiàng)正確；
B、假設(shè)△AOC∽△BFC，
則有∠OAC=∠FBC，
∵∠ACB=90°，以BC為直徑作⊙O，
∴AC是⊙O的切線，
∴∠ACD=∠FBC，
∵∠ODC=∠OAC+∠ACD=2∠OAC，∠COD=2∠FBC（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和），
∴∠ODC=∠COD，
∴OC=CD，
又∵OD=OC，
∴OC=CD=OD，
即△OCD是等邊三角形，∠AOC=60°，
∴AC=OC①，
而在△ABC中，AC=BC，BC=2OC，
∴AC=2OC②，
∴假設(shè)與題目條件相矛盾，
故假設(shè)不成立，所以△AOC與△BFC不相似；
故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、∵∠ACB=90°，
∴∠CBD+∠BFC=90°，
∴BC是⊙O的直徑，
∴∠CBD+∠BCD=90°，
∴∠BCD=∠BFC，
∵DE是⊙O的切線，AC是⊙O的切線，
∴∠CDE=∠CED=∠CBD，
又∵∠AED=∠CDE+∠CED=2∠CBD，
∠COD=2∠CBD，
∴∠AED=∠COD，
在△DEF∽△DOC中，，
∴△DEF∽△DOC，
故本選項(xiàng)正確；
D、∵BC為⊙O的直徑，
∴∠CDB=90°，
∴CD⊥BF，
∵∠ACB=90°，
∴CD²=DF•DB，
故本選項(xiàng)正確．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定，圓周角定理以及切線的性質(zhì)，本題利用反證法，先假設(shè)成立，再推出矛盾，從而推翻假設(shè)，題目綜合性較強(qiáng)，難度較大．