Question

已知一個(gè)直角三角形紙片OAB，其中∠AOB=90°，OA=2，OB=4．如圖，將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，折疊該紙片，折痕與邊OB交于點(diǎn)C，與邊AB交于點(diǎn)D．
（Ⅰ）若折疊后使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（Ⅱ）若折疊后點(diǎn)B落在邊OA上的點(diǎn)為B′，設(shè)OB′=x，OC=y，試寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并確定y的取值范圍；
（Ⅲ）若折疊后點(diǎn)B落在邊OA上的點(diǎn)為B″，且使B″D∥OB，求此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因?yàn)檎郫B后點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，那么BC=AC，可先設(shè)出C點(diǎn)的坐標(biāo)，然后表示出BC，AC，在直角三角形OCA中，根據(jù)勾股定理即可求出C點(diǎn)的縱坐標(biāo)，也就求出了C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（Ⅱ）方法同（Ⅰ）用OC表示出BC，B′C然后在直角三角形OB′C中根據(jù)勾股定理得出x，y的關(guān)系式．由于B′在OA上，因此有0≤x≤2，由此可求出y的取值范圍；
（Ⅲ）根據(jù)（Ⅰ）（Ⅱ）的思路，應(yīng)該先得出OB″，OC的關(guān)系，知道OA，OB的值，那么可以通過證Rt△COB″∽R(shí)t△BOA來實(shí)現(xiàn)．∠B″CO和∠CB″D是平行線B″D，OB的內(nèi)錯(cuò)角，又因?yàn)椤螼BA=∠CB″D，因此∠B″CO=∠OBA，即CB″∥BA，由此可得出兩三角形相似，得出OC，OB″的比例關(guān)系，然后根據(jù)（1）（2）的思路，在直角三角形OB″C中求出OC的值，也就求出C點(diǎn)的坐標(biāo)了．

解答：解：（Ⅰ）如圖①，折疊后點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，則△ACD≌△BCD．
設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，m）（m＞0），則BC=OB-OC=4-m．
∴AC=BC=4-m．
在Rt△AOC中，由勾股定理，AC²=OC²+OA²，
即（4-m）²=m²+2²，解得m=

3

2

．
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，

3

2

）；

（Ⅱ）如圖②，折疊后點(diǎn)B落在OA邊上的點(diǎn)為B′，
∴△B′CD≌△BCD．
∵OB′=x，OC=y，
∴B'C=BC=OB-OC=4-y，
在Rt△B′OC中，由勾股定理，得B′C²=OC²+OB′²．
∴（4-y）²=y²+x²，
即y=-

1

8

x²+2．
由點(diǎn)B′在邊OA上，有0≤x≤2，
∴解析式y(tǒng)=-

1

8

x²+2（0≤x≤2）為所求．
∵當(dāng)0≤x≤2時(shí)，y隨x的增大而減小，
∴y的取值范圍為

3

2

≤y≤2；

（Ⅲ）如圖③，折疊后點(diǎn)B落在OA邊上的點(diǎn)為B″，且B″D∥OC．
∴∠OCB″=∠CB″D．
又∵∠CBD=∠CB″D，
∴∠OCB″=∠CBD，
∵CB″∥BA．
∴Rt△COB″∽R(shí)t△BOA．
∴

OB″

OA

=

OC

OB

，
∴OC=2OB″．
在Rt△B″OC中，
設(shè)OB″=x₀（x₀＞0），則OC=2x₀．
由（Ⅱ）的結(jié)論，得2x₀=-

1

8

x₀²+2，
解得x₀=-8±4

5

．
∵x₀＞0，
∴x₀=-8+4

5

．
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，8

5

-16）．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了運(yùn)用軸對(duì)稱、相似三角形的性質(zhì)和勾股定理的知識(shí)進(jìn)行計(jì)算的能力．折疊型動(dòng)態(tài)問題是近年來中考試題中的熱點(diǎn)問題，它可以考查學(xué)生的綜合能力，如想象能力、動(dòng)手操作及創(chuàng)新意識(shí)能力等等，對(duì)于這類問題，通常從原圖中選取滿足條件的基本圖形進(jìn)行分析、解決問題．