Question

在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax²+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，4），已知點(diǎn)B（2，0），連接BC．點(diǎn)P是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA、PB，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿射線CO方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．
（1）求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式．
（2）點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)S_△ABP=S_△CPB時(shí)，求t的值．
（3）點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，△ABP與△CPB均為軸對(duì)稱圖形時(shí)，這樣的t值有______個(gè)．

Answer 1

【答案】分析：（1）將點(diǎn)C及點(diǎn)B的坐標(biāo)代入即可得出a與c的值，繼而可得出拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）分兩種情況討論，①點(diǎn)P在x軸上方，②點(diǎn)P在x軸下方，分別表示出△ABP及△CPB的面積，然后根據(jù)S_△ABP=S_△CPB，可得出關(guān)于t的方程，解出即可．
（3）△APB是軸對(duì)稱圖形，只需滿足△CPB是軸對(duì)稱圖形即可，也就是只要△CPB是等腰三角形即可滿足條件，分情況討論，①BC=BP，②CP=CB，③PC=PB，分別作出圖形即可得出答案．
解答：解：（1）將點(diǎn)C（0，4），點(diǎn)B（2，0）代入可得，，
解得：，
故可得二次函數(shù)解析式為：y=-x²+4．
（2）①當(dāng)點(diǎn)P在線段OC上時(shí)，
S_△ABP=AB•OP=4×（4-t）=8-2t，S_△CPB=CP×BO=t，
∵S_△ABP=S_△CPB，
∴8-2t=t，
解得：t=；
②當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，S_△ABP=AB•OP=4×（t-4）=2t-8，S_△CPB=CP×BO=t，
∵S_△ABP=S_△CPB，
∴2t-8=t，
解得：t=8，
綜上可得當(dāng)t=或8時(shí)，S_△ABP=S_△CPB．
（3）當(dāng)△CBP是等腰三角形時(shí)，可滿足題意，
①BC=BP，②CP=CB，③PC=PB，

如圖所示，滿足題意得點(diǎn)P的坐標(biāo)有三個(gè)．
點(diǎn)評(píng)：此題屬于二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，等腰三角形的性質(zhì)及軸對(duì)稱的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是掌握動(dòng)點(diǎn)的移動(dòng)速度與線段長(zhǎng)度的關(guān)系．