Question

如圖，半徑為2的半圓O中有兩條相等的弦AC與BD相交于點P．
（1）求證：PO⊥AB；
（2）若BC=1，求PO的長．

Answer 1

分析：（1）連接AD．因為AB是直徑，所以△ABC、△ABD為直角三角形．根據“HL”判斷它們全等，得∠BAC=∠ABD，從而PA=PB．根據等腰三角形性質得證；
（2）易證△AOP∽△ACB，運用相似三角形對應邊成比例求解．

解答：（1）證明：連接AD．
∵AB是直徑，∴∠ACB=∠ADB=90°．
∵AC=BD，AB=BA，
∴△ABC≌△ABD．
∴∠BAC=∠ABD，從而PA=PB．
∵O是AB中點，
∴PO⊥AB；（4分）

（2）解：∵∠AOP=∠ACB=90°，∠OAP=∠CAB，
∴△AOP∽△ACB．                                 （2分）
∴

OP

BC

=

AO

AC

．
∵AB=4，BC=1，∴AC=

42-12

=

15

．
∴OP=

2

15

=

2 15

15

．                                       （2分）

點評：此題考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性質、相似三角形的判定和性質等知識點，綜合性較強，難度偏上．