Question

如圖，直角坐標系內(nèi)的矩形ABCD中頂點A的坐標為（0，3），BC=2AB，P為AD邊上一動點（與點A、D不重合），以點P為圓心作⊙P，與對角線AC相切于點F，過P、F作直線l，交BC邊上于點E .當點P運動到點P₁位置時，直線l恰好經(jīng)過點B，此時直線的解析式是y=2x+1 .

（1）求BC、AP₁的長；
（2）設AP=m，梯形PECD的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；
（3）以點E為圓心作⊙E，與x軸相切 .試探究并猜想⊙P和⊙E有哪幾種不同的位置關(guān)系，并求出AP相應的取值范圍.

Answer 1

解：（1）由y=2x+1可知， 當x=0時 ，y=1
              ∴ 點B(0，1) ∵點A(0，3)
               ∴AB=2 又 BC=2AB ∴ BC=4
               ∵點P₁在直線y=2x+1和AD邊上，又AD // x軸 ， ∴可設
              則 3=2a+1 即 ∴   ∴AP₁=1 ；
（2）∵AP=m   AD=4    AP₁=1
         ∴PD = 4-m    P₁P = m-1
         又P₁P//BE，P₁B//PE，    ∴P₁PEB是平行四邊形.
       ∴BE=P₁P      ∴EC = 4-(m-1) = 5-m      
       ∴S=[(4-m)+(5-m)]×2 = 9-2m      1≤m<4；
（3）當⊙E與x軸及⊙P外切時，EF=1， ∵ △CFE∽△CBA 
         ∴   ∴即EC=
         ∴BE=4- 即m-1=4-     ∴m=5-
        ∴當m=5-時， ⊙P與⊙E外切；
            當1≤m<5-時， ⊙P與⊙E外離；
            當5-<m<4時， ⊙P與⊙E相交 。