Question

問題情境：
學(xué)生生物小組有一塊長30m，寬20m的矩形ABCD試驗田，為了管理方便，準(zhǔn)備沿平行于兩邊的方向縱、橫各開辟一條等寬的小道如圖1，要使種植面積為504m²．

問題探究：
（1）如圖1，小道的寬應(yīng)設(shè)計為多少m？
（2）若設(shè)計者將圖1中縱向小道變成如圖2所示的一條與橫向小道等寬的小道，請你說明兩小道重疊部分四邊形EFGO是什么特殊的四邊形？此時種植面積

變化

（填變化或不變）
（3）若設(shè)計者將圖1中小道邊交叉點O落在矩形ABCD的對角線BD上，并建立如圖3所示的直角坐標(biāo)系，且滿足OM=ON，請你求出點A的坐標(biāo)及過點C的反比例函數(shù)的關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）利用把2條道路平移到矩形地塊的一邊，可得種植面積的形狀為一個矩形，根據(jù)種植面積為504m²列出方程求解即可；
（2）根據(jù)平行四邊形以及菱形的判定得出即可，利用縱向小道的底邊變大，得出種植面積變化；
（3）利用平行線分線段成比例定理得出

DE

NB

=

EO

NO

，進(jìn)而求出A點坐標(biāo)即可，再利用A點坐標(biāo)，進(jìn)而得出C點坐標(biāo)，即可得出答案．

解答：（1）解：設(shè)小道寬為x，
則種植面積（30-x）（20-x）=504，
化簡得：x²-50x+96=0，即（x-2）（x-48）=0，
解得：x₁=2，x₂=48（48＞20，故舍去），
答：小道的寬為2米；

（2）兩小道重疊部分四邊形EFGO是菱形，
證明：如圖2，∵四邊形EFGO是用等寬的小道交叉重疊地放在一起而組成的圖形，
∴EO∥FG，EF∥OG，
∴四邊形EFGO是平行四邊形（對邊相互平行的四邊形是平行四邊形），
過點G分別作EF，EO邊上的高為GN，GJ．
則GN=GJ（兩小道寬度相同）；
∵平行四邊形的面積為：EF×GN=EO×GJ，
∴EF=EO．
∴平行四邊形EFGO為菱形（鄰邊相等的平行四邊形是菱形）．
∵NG=GJ，NG⊥EF，
∴FG＞NG，
∴縱向小道的底邊變大，而高不變，此時縱向小道面積增大，
∴此時種植面積變小，
故答案為：變化；

（3）解：如圖3，
∵OM=ON，
∴A點橫縱坐標(biāo)相等，設(shè)坐標(biāo)為：（x，x），
則EO=20+x，DE=-x，NO=-x，BN=30+x，
∵DE∥NB，
∴

DE

NB

=

EO

NO

，
∴

-x

30+x

=

20+x

-x

，
解得：x=-12，
故A點坐標(biāo)為：A（-12，-12），
∴EC=DC-DE=30-12=18，F(xiàn)C=BC-BF=20-12=8，
故C點坐標(biāo)為：（18，8），
將C點代入y=

k

x

，得：xy=k=18×8=144，
故過點C的反比例函數(shù)的關(guān)系式為：y=

144

x

．

點評：此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用以及菱形的判定和平行線分線段成比例定理、反比例函數(shù)的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出A點橫縱坐標(biāo)相等，再利用比例關(guān)系求出是解題關(guān)鍵．