Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn)y＝ax²＋bx＋3的頂點(diǎn)為M（2，－1），交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）.

(1)求該拋物線(xiàn)的解析式；

(2)設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C的直線(xiàn)與該拋物線(xiàn)的另一個(gè)交點(diǎn)為D，且直線(xiàn)CD和直線(xiàn)CA關(guān)于直線(xiàn)BC對(duì)稱(chēng)，求直線(xiàn)CD的解析式；

(3)在該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上存在點(diǎn)P，滿(mǎn)足PM²＋PB²＋PC²＝35，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

Answer 1

解：

（1）∵拋物線(xiàn)y＝ax²＋bx＋3的頂點(diǎn)為M（2，－1），

     ∴設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為線(xiàn)。

     ∵點(diǎn)B（3，0）在拋物線(xiàn)上，∴，解得

     ∴該拋物線(xiàn)的解析式為，即

（2）在中令x=0，得,∴C（0，3）

 ∴OB=OC=3  ∴∠ABC=45^。

過(guò)點(diǎn)B作BN⊥x軸交CD于點(diǎn)N，

則∠ABC=∠NBC=45^。

∵直線(xiàn)CD和直線(xiàn)CA關(guān)于直線(xiàn)BC對(duì)稱(chēng)，

∴∠ACB=∠NCB

 又∵CB=CB，∴△ACB≌△NCB

∴BN=BA

∵A，B關(guān)于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸x=2對(duì)稱(chēng)，B（3，0），

∴A（1，0）

∴BN=BA=2  ,∴N（3，2）

設(shè)直線(xiàn)CD的解析式為，

∵C（0，3），N（3，2）在直線(xiàn)CD上，

∴，解得，

∴直線(xiàn)CD的解析式為

（3）設(shè)P（2，p）

∵M(jìn)（2，－1），B（3，0），C（0，3），

∴根據(jù)勾股定理，得，，

∵PM²＋PB²＋PC²＝35，∴

 整理，得，解得.

 ∴P（2，－2）或（2，）.