【題目】如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)G在對(duì)角線BD上(不與點(diǎn)B,D重合),GE⊥DC于點(diǎn)E,GF⊥BC于點(diǎn)F,連結(jié)AG.

(1)寫出線段AG,GE,GF長(zhǎng)度之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(2)若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,∠AGF=105°,求線段BG的長(zhǎng).

【答案】
(1)

解:結(jié)論:AG2=GE2+GF2

理由:連接CG.

∵四邊形ABCD是正方形,

∴A、C關(guān)于對(duì)角線BD對(duì)稱,

∵點(diǎn)G在BD上,

∴GA=GC,

∵GE⊥DC于點(diǎn)E,GF⊥BC于點(diǎn)F,

∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°,

∴四邊形EGFC是矩形,

∴CF=GE,

在Rt△GFC中,∵CG2=GF2+CF2,

∴AG2=GF2+GE2


(2)

解:作BN⊥AG于N,在BN上截取一點(diǎn)M,使得AM=BM.設(shè)AN=x.

∵∠AGF=105°,∠FBG=∠FGB=∠ABG=45°,

∴∠AGB=60°,∠GBN=30°,∠ABM=∠MAB=15°,

∴∠AMN=30°,

∴AM=BM=2x,MN= x,

在Rt△ABN中,∵AB2=AN2+BN2,

∴1=x2+(2x+ x)2

解得x= ,

∴BN= ,

∴BG=BN÷cos30°=


【解析】(1)結(jié)論:AG2=GE2+GF2 . 只要證明GA=GC,四邊形EGFC是矩形,推出GE=CF,在Rt△GFC中,利用勾股定理即可證明;
(2)作BN⊥AG于N,在BN上截取一點(diǎn)M,使得AM=BM.設(shè)AN=x.易證AM=BM=2x,MN= x,在Rt△ABN中,根據(jù)AB2=AN2+BN2 , 可得1=x2+(2x+ x)2 , 解得x= ,推出BN= ,再根據(jù)BG=BN÷cos30°即可解決問題;
【考點(diǎn)精析】掌握勾股定理的概念和正方形的性質(zhì)是解答本題的根本,需要知道直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2;正方形四個(gè)角都是直角,四條邊都相等;正方形的兩條對(duì)角線相等,并且互相垂直平分,每條對(duì)角線平分一組對(duì)角;正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形;正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o;正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形.

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