Question

在平面直角坐標(biāo)系中（單位長度：1cm），A、B兩點的坐標(biāo)分別為（-4，0），（2，0），點P從點A開始以2cm/s的速度沿折線AOy運動，同時點Q從點B開始以1cm/s的速度沿折線BOy運動．
（1）在運動開始后的每一時刻一定存在以點A、O、P為頂點的三角形和以點B、O、Q為頂點的三角形嗎？如果存在，那么以點A、O、P為頂點的三角形和以點B、O、Q為頂點的三角形相似嗎？以點A、O、P為頂點的三角形和以點B、O、Q為頂點的三角形會同時成為等腰直角三角形嗎？請分別說明理由．
（2）試判斷時，以點A為圓心，AP為半徑的圓與以點B為圓心、BQ半徑的圓的位置關(guān)系；除此之外⊙A與⊙B還有其他位置關(guān)系嗎？如果有，請求出t的取值范圍．
（3）請你選定某一時刻，求出經(jīng)過三點A、B、P的拋物線的解析式．

Answer 1

解：（1）①不一定．例如：當(dāng)t≤2s時，點A、O、P與點B、O、Q都不能構(gòu)成三角形．
②當(dāng)t＞2s時，即當(dāng)點P、Q在y軸的正半軸上時，△AOP∽△BOQ．
這是因為：，，∠AOP=∠BOQ=90度．
③會成為等腰直角三角形．
這是因為：當(dāng)OA=OQ=4時，OA+OQ=8，即當(dāng)t=4s時，△AOP為等腰直角三角形．
同理可得，當(dāng)t=4s時，△BOQ為等腰直角三角形．
（2）當(dāng)t=（2+4）s時，OP=2（2+4）-4=8cm，
∴AP==12（cm），
同理可得BQ=6cm，
∴AB=AP-BQ，
∴此時⊙A與⊙B內(nèi)切．
②有．當(dāng)外離時，0＜t＜2；
當(dāng)外切時，t=2；
當(dāng)相交時，2＜t＜2+4；
當(dāng)內(nèi)含時，t＞2．
（3）當(dāng)t=3s時，OP=2×3-4=2（cm），此時點P的坐標(biāo)為（0，2），
設(shè)經(jīng)過點A、B、P的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
則
解得
故所求解析式為y=-x²-x+2．
分析：（1）①當(dāng)P、Q在y軸運動時，才能夠成△AOP和△BOQ，因此當(dāng)t≤2時，構(gòu)不成三角形．當(dāng)t＞2時，可構(gòu)成以點A、O、P為頂點的三角形和以點B、O、Q為頂點的三角形．
兩三角形相似，這兩個三角形中，已知了一組直角，而通過計算不難的這兩個直角三角形的直角邊也對應(yīng)成比例，因此兩三角形相似．
②由于兩三角形相似，因此兩者一定會同時成為等腰直角三角形，要使兩三角形成為等腰直角三角形，以三角形OAP為例：OA=OP=4，因此t=4．即可當(dāng)t=4s時，兩三角形同時成為等腰直角三角形．
（2）①可計算出當(dāng)t=2+4時AP，BQ的長即兩圓的半徑長，然后比較兩圓的半徑和圓心距即AB的距離即可判斷出兩圓的位置關(guān)系．
②同①可根據(jù)兩圓的半徑長即AP、BQ的長和圓心距AB的長來求出不同的圓與圓的位置關(guān)系時，t的取值范圍．
點評：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定、圓與圓的位置關(guān)系、二次函數(shù)解析式的確定等知識．