(2010•臨沂)如圖,AB是半圓的直徑,O為圓心,AD、BD是半圓的弦,且∠PDA=∠PBD.
(1)判斷直線PD是否為⊙O的切線,并說明理由;
(2)如果∠BDE=60°,PD=,求PA的長.

【答案】分析:(1)要證是直線PD是為⊙O的切線,需證∠PDO=90°.因?yàn)锳B為直徑,所以∠ADO+∠ODB=90°,由∠PDA=∠PBD=∠ODB可得∠ODA+∠PDA=90°,即∠PDO=90°.
(2)根據(jù)已知可證△AOD為等邊三角形,∠P=30°.在Rt△POD中運(yùn)用三角函數(shù)可求解.
解答:解:(1)PD是⊙O的切線.理由如下:
∵AB為直徑,
∴∠ADO+∠ODB=90°.
∵∠PDA=∠PBD=∠ODB,
∴∠ODA+∠PDA=90°.即∠PDO=90°.
∴PD是⊙O的切線.

(2)∵∠BDE=60°,∠ADB=90°,
∴∠PDA=180°-90°-60°=30°,
又PD為半圓的切線,所以∠PDO=90°,
∴∠ADO=60°,又OA=OD,
∴△ADO為等邊三角形,∠AOD=60°.
在Rt△POD中,PD=,
∴OD=1,OP=2,
PA=PO-OA=2-1=1.
點(diǎn)評:此題考查了切線的判定及三角函數(shù)的有關(guān)計(jì)算等知識點(diǎn),難度中等.要證某線是圓的切線,已知此線過圓上某點(diǎn),連接圓心與這點(diǎn)(即為半徑),再證垂直即可.
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A.2
B.
C.1
D.

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