Question

探究題：
（1）計算下列各題；
①（x-1）（x+1）=

x²-1

；
②（x-1）（x²+x+1）=

x³-1

；
③（x-1）（x³+x²+x+1）=

x⁴-1

．
（2）猜想：（x-1）（xⁿ+x^n-1+x^n-2+…+x+1）的結(jié)果是

xⁿ⁺¹-1

．
（3）證明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）可以用多項式乘以多項式驗證想法，得出中答案；
（2）根據(jù)規(guī)律猜想出結(jié)果為xⁿ⁺¹-1；
（3）利用多項式乘以多項式的方法進行計算，展開后可知中間的項會相互抵消，只剩下第一項和最后一項．

解答：解：（1）①（x-1）（x+1）=x²-1；
②（x-1）（x²+x+1）=x³-1；
③（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1；

（2）（x-1）（xⁿ+x^n-1+x^n-2+…+x+1）=xⁿ⁺¹-1；

（3）原式=xⁿ⁺¹+xⁿ+x^n-1+…+x²+x-xⁿ-x^n-1-…-x-1
=xⁿ⁺¹-1．

點評：本題是個閱讀材料題，要會從所給出的數(shù)列中找到它們的規(guī)律．主要考查了學生的歸納總結(jié)能力．