Question

在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0），若將經(jīng)過B、C兩點(diǎn)的直線y=mx+n沿y軸向下平移6則恰好經(jīng)過原點(diǎn)，且拋物線的對(duì)稱軸是直線x=4．
（1）求拋物線及直線BC的解析式；
（2）如果P是線段BC上一點(diǎn)，設(shè)△ABP、△ACP的面積分別是S_△ABP、S_△ACP，且S_△ABP=S_△ACP，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)⊙Q的半徑為2，圓心Q在拋物線上運(yùn)動(dòng)．則在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在圓Q與坐標(biāo)軸相切的情況，若存在，請(qǐng)求出圓心Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．
（4）在（3）的情況下，設(shè)⊙Q的半徑為r，是否存在與兩坐標(biāo)軸同時(shí)相切的圓，若存在，求出半徑r的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)直線平移的規(guī)律，求出C點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)函數(shù)對(duì)稱軸為x=4，與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6），利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；
（2）設(shè)P（x′，-x′+6），由S_△ABP=S_△ACP得：S_△ABP=（S_△ABC-S_△ABP），據(jù)此建立關(guān)于x′的方程，解方程即可求出函數(shù)解析式；
（3）分兩種情況討論：①當(dāng)⊙Q與y軸相切時(shí)，有|x|=2，即x=±2．據(jù)此求出y的值；②當(dāng)⊙Q與x軸相切時(shí)，有|y|=2，即y=±2．據(jù)此求出x的值．
解答：解：（1）直線y=mx+n沿y軸向下平移6后恰好經(jīng)過原點(diǎn)，
∴n=6，C（0，6）．
將B（6，0）代入y=mx+6，得mx+6=0，m=-1．
∴直線AC的解析式為y=-x+6．
∵拋物線y=ax²+bx+c過點(diǎn)A、C，且對(duì)稱軸x=4，c=6．
∴，
解之得：，
∴拋物線的函數(shù)解析式為．
注：變可設(shè)拋物線方程y=a（x-2）（x-6），代入C（0，6）即可求之．
（2）設(shè)P（x′，-x′+6），
由S_△ABP=S_△ACP得：S_△ABP=（S_△ABC-S_△ABP），
∴5S_△ABP=2S_△ABC．
5×（6-2）（-x′+6）=2××（6-2）×6，
解之得：x′=，
∴P（，）．
（3）假設(shè)⊙Q在運(yùn)動(dòng)過程中，存在⊙Q與坐標(biāo)軸相切的情況．
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，y）．
①當(dāng)⊙Q與y軸相切時(shí)，有|x|=2，即x=±2．
當(dāng)x=-2時(shí)，
∴，
∴Q₁（-2，16）．
當(dāng)x=2時(shí)，，
∴Q₂（2，0）．
②當(dāng)⊙Q與x軸相切時(shí)，有|y|=2，即y=±2．
當(dāng)y=-2時(shí)，有，解之得x=4．
∴Q₃（4，-2）．
當(dāng)y=2時(shí)，有，
解之得，．
∴Q₄（，2），Q₅（，2）．
綜上所述，存在符合條件的⊙Q，其圓心Q的坐標(biāo)分別為Q₁（-2，16）、Q₂（2，0）、Q₃（4，-2）、Q₄（，2）、Q₅（，2）．
（4）存在與兩坐標(biāo)軸同時(shí)相切的圓．設(shè)點(diǎn)Q（x₁，y₁）．
當(dāng)⊙Q與兩坐標(biāo)軸同時(shí)相切時(shí)，有|y₁|=|x₁|=r，即y₁=±x₁．
由y₁=x₁，得，即，
解之得：．
∴．
由y₁=-x₁，得，
即．
此方程無實(shí)數(shù)解．
綜上所述，存在與兩坐標(biāo)軸同時(shí)相切的圓，此圓半徑．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、切線的判定和性質(zhì)，都用到了分類討論的數(shù)學(xué)思想，難點(diǎn)在于考慮問題要全面，做到不重不漏．