Question

如圖所示，工作流程線上放置著5個機(jī)器人：A，B，C，D，E；還放著一只工具箱．5個機(jī)器人取工具的次數(shù)相同． (1) 如果AB＝BC＝CD＝DE，那么將工具箱放在何處，才能使機(jī)器人取工具所花費(fèi)的時間最少？ (2) 如果5個機(jī)器人并非均勻地置于流程線上，只是A，E兩個的位置與(1)中相同，那么工具箱又應(yīng)該放在何處？

Answer 1

答案：
解析：

(1)

解：應(yīng)將工具箱放在流程線的中點(diǎn)，即圖中點(diǎn)C處．理由如下： 設(shè)AB＝1．當(dāng)工具箱放在點(diǎn)C處時，每個機(jī)器人取一次工具所走距離的和為2×(AC＋BC＋DC＋EC)＝12． 當(dāng)工具箱放在B，C之間的點(diǎn)F處：設(shè)BF＝x，則0＜x＜1，這時2(AF＋BF＋CF＋DF＋EF)＝2[(1＋x)＋x＋(1－x)＋(2－x)＋(3－x)]＝2(7－x)＞12 當(dāng)工具箱放在點(diǎn)A，B之間的點(diǎn)G處(含A，B兩點(diǎn))時：設(shè)AF＝x，則0≤x≤1，這時2(AG＋BG＋CG＋DG＋EG)＝2[x＋(1－x)＋(2－x)＋(3－x)＋(4－x)]＝2(10－3x)≥14 由圖形的對稱性可知，當(dāng)工具箱放在點(diǎn)C右邊某點(diǎn)時，每個機(jī)器人取一次工具所走距離之和均大于12，所以將工具箱放在AE的中點(diǎn)，即點(diǎn)C處，才能使機(jī)器人所花費(fèi)的時間最少．

(2)

解：應(yīng)將工具箱放在點(diǎn)C處(這時點(diǎn)C未必是AE中點(diǎn))．理由如下：當(dāng)工具箱放在點(diǎn)C處時，每個機(jī)器人取一次工具所走距離之和為2(AC＋BC＋DC＋EC)＝2(AE＋BD)如果放在點(diǎn)B，C之間的點(diǎn)M處，則AM＋BM＋CM＋DM＋EM＝AE＋BD＋CM＞AE＋BD 同樣可說明放在其他位置時，五個機(jī)器人各取一次工具所走距離之和大于AE＋BD．所以，應(yīng)將工具箱放在點(diǎn)C處．