Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=10，P是AD邊上動(dòng)點(diǎn)（不與A，D重合），⊙B是以B為圓心，BP為半徑的一個(gè)圓．
（1）如圖1，若CP與⊙B相切，求AP的長(zhǎng)；
（2）如圖2，若經(jīng)過點(diǎn)P的圓的切線與線段BC相交于點(diǎn)F，與DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，設(shè)AP=x，CE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）若經(jīng)過點(diǎn)P的⊙B切線與直線BC相交于點(diǎn)F，當(dāng)CF=2時(shí)，求AP的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）若CP與⊙B相切，則BP⊥PC，設(shè)AP=x，可分別在直角三角形ABP和PDC中表示出BP和CP的平方，然后在直角三角形BCP中，用勾股定理即可求出AP的長(zhǎng)．（也可通過相似三角形ABP和DPC來求出AP的長(zhǎng)）．
（2）本題可仿照（1）題的第二種思路進(jìn)行求解．由于∠BPE=90°，易得出△ABP∽△DEP，那么可根據(jù)相似三角形得出的關(guān)于AB、AP、PD、DE的比例關(guān)系式求出y，x的函數(shù)關(guān)系式．（求x的取值范圍時(shí)，要先求出E、C重合時(shí)，x的值，求出的這兩個(gè)值之間就是x的取值范圍．其實(shí)這種情況就是題（1）所求的值．）
（3）本題要分兩種情況進(jìn)行討論，思路一致．
①當(dāng)F在BC上時(shí)，可在直角三角形CFE中，根據(jù)CF的長(zhǎng)和相似三角形CEF和DEP求出CE的表達(dá)式，然后代入（2）的函數(shù)關(guān)系式中，即可求出x的值．
②當(dāng)F在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，解法與①相同．

解答：解：（1）AP的長(zhǎng)拋物線和直線的解析式；
設(shè)AP=x，則BP=

9+x2

，CP=

9+(10-x)2

，9+x²+9+（10-x）²=100，
解得x為1或9，則AP的長(zhǎng)為1或9．

（2）如圖2，DE=3+y，AP=x，PD=10-x；
由∠BPE=90°，易知：△ABP∽△DPE，則有

AB

PD

=

AP

ED

，即

3

10-x

=

x

3+y

，
∴y=-

1

3

x²+

10

3

x-3（1＜x＜9）．

（3）情況一：當(dāng)1＜AP＜9時(shí)，AP=4±

7

；
情況二：當(dāng)0＜AP≤1或9≤AP＜10時(shí)，AP=6-3

3

；
綜上所述：AP的長(zhǎng)為4±

7

或6-3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了切線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)．
根據(jù)相似三角形來得出的對(duì)應(yīng)成比例線段來求解是本題的基本思路．