Question

【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0．
（1）求證：方程恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;
（2）若此方程的一個(gè)根是1，請(qǐng)求出方程的另一個(gè)根。并求以此兩根為邊長(zhǎng)的直角三角形的周長(zhǎng)。

Answer 1

【答案】
（1）

解：由判別式可得(m+2)2-4(2m-1)=m2+4m+4-8m+4= m2-4m+8=(m-2)2+4>0.

所以方程恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

（2）

解：把x=1代入方程可得1-(m+2)+(2m-1)=0，解得m=2，

把m=2代入方程可整理得x2-4x+3=0，解得x1=1,x2=3.

當(dāng)1和3都是直角邊的邊長(zhǎng)時(shí)，斜邊長(zhǎng)為 ，周長(zhǎng)為4+ 。

當(dāng)3是斜邊長(zhǎng)時(shí)，另一條邊長(zhǎng)是 ，周長(zhǎng)為4+ 。

【解析】（1）方程的解與根的判別式有關(guān)，求出判別式的范圍，再判斷根的情況；（2）由于方程中有個(gè)未知數(shù)m，可以將x=1代入方程先求出m的解；再將m的值代入，解出一元二次方程的兩個(gè)解，則分類討論兩個(gè)解分別是直角邊還是斜邊，求出第三條邊，寫出周長(zhǎng)。
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解求根公式的相關(guān)知識(shí)，掌握根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當(dāng)△>0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根2、當(dāng)△=0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)相同的實(shí)數(shù)根3、當(dāng)△<0時(shí)，一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．