Question

1．如圖，拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于C（0，-3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）D是y軸正半軸上的點，OD=3，在線段BD上任取一點E（不與B，D重合），經過A，B，E三點的圓交直線BC于點F，
①試說明EF是圓的直徑；
②判斷△AEF的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）將A、B、C三點坐標代入拋物線方程，即可求得a、b、c的值；
（2）①由B、C、D三點的坐標即可得出∠CBO=∠OBD=45°，從而得出∠EBF=90°，即可得出EF為圓的直徑；
②利用同圓內，同弧所對的圓周角相等，可以找到∠AEF=∠AFE=45°，從而得出△AEF是等腰直角三角形．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于C（0，-3），
∴有$\left\{\begin{array}{l}{0=a-b+c}\\{0=9a+3b+c}\\{-3=c}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3．
（2）按照題意畫出圖形，如下圖，

①∵B點坐標（3，0）、C點坐標（0，-3），
∴OB=OC=3，
∴△BOC為等腰直角三角形，
∴∠CBO=45°，
又∵D是y軸正半軸上的點，OD=3，
∴△BOD為等腰直接三角形，
∴∠OBD=45°，
∠CBD=∠CBO+∠OBD=45°+45°=90°，
即∠FBE=90°，
∴EF是圓的直徑．
②∵∠CBO=∠OBD=45°，∠AFE=∠OBD，∠AEF=∠CBO（在同圓中，同弧所對的圓周角相等），
∴∠AEF=∠AFE=45°，
∴∠FAE=90°，AE=AF，
∴△AEF是等腰直角三角形．

點評 本題考查了二次函數解析式的求取、圓周角定理、等腰直角三角形的判定等知識，解題的關鍵是注意數形結合思想的運用．