Question

（1）如圖1，在△ABC中，BC=3，AC=4，AB=5．D為AB邊上一點，且△ACD與△BCD的周長相等，則AD=______．
（2）如圖2，在△ABC中，BC=a，AC=b，AB²=BC²+AC²．E為BC邊上一點，且△ABE與△ACE的周長相等；F為AC邊上一點，且△ABF與△BCF的周長相等，求CE•CF（用含a，b的式子表示）．

Answer 1

解：（1）∵△ACD與△BCD的周長相等，
∴AC+AD=BC+BD，即4+AD=3+BD，
又AD+DB=5，

解得：AD=2．
（2）設(shè)AB=c，則c²=a²+b²，
∵△ABE與△ACE的周長相等，
∴CE+AC=BE+AB=（AB+BC+AC），
設(shè)CE=x，
∴x+b=（a+b+c），
∴x=（a-b+c），
設(shè)CF=y，同理可得y+a=（a+b+c），
∴CE•CF=（a-b+c）•（b+c-a）=[c²-（a-b）²]，
∵c²=a²+b²，
∴CE•CF=ab．
分析：（1）根據(jù)△ACD與△BCD的周長相等可得出AC+AD=BC+BD，再由AD+BD=5，聯(lián)立求解方程組即可解出AD的長．
（2）設(shè)AB=c，則c²=a²+b²，根據(jù)△ABE與△ACE的周長相等得出CE+AC=BE+AB=（AB+BC+AC），從而設(shè)CE=x可得出x的表達(dá)式，設(shè)CF=y，可得出y的表達(dá)式，進(jìn)而求出CE•CF的值．
點評：此題考查了勾股定理及三角形的三邊關(guān)系、二元一次方程組的應(yīng)用，涉及的小知識點較多，解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)審題，細(xì)化解題思路，難度較大．