Question

（2007•韶關(guān)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是矩形，OA=4，AB=2，直線與坐標(biāo)軸交于D、E．設(shè)M是AB的中點(diǎn)，P是線段DE上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）求M、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)P在什么位置時(shí)，PA=PB求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）過P作PH⊥BC，垂足為H，當(dāng)以PM為直徑的⊙F與BC相切于點(diǎn)N時(shí)，求梯形PMBH的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）因?yàn)樗倪呅蜲ABC是矩形，OA=4，AB=2，直線與坐標(biāo)軸交于D、E，M是AB的中點(diǎn)，所以令y=0，即可求出D的坐標(biāo)，而AM=1，所以M（4，1）；
（2）因?yàn)镻A=PB，所以P是AB的垂直平分線和直線ED的交點(diǎn)，而AB的中垂線是y=1，所以P的縱坐標(biāo)為1，令直線ED的解析式中的y=1，求出的x的值即為相應(yīng)的P的橫坐標(biāo)；
（3）可設(shè)P（x，y），連接PN、MN、NF，因?yàn)辄c(diǎn)P在y=-x+上，所以P（x，-x+，根據(jù)題意可得PN⊥MN，F(xiàn)N⊥BC，F(xiàn)是圓心，又因N是線段HB的中點(diǎn)，HN=NB=，PH=2-（-x+）=x+，BM=1，利用直徑對(duì)的圓周角是直角可得到∠HPN+∠HNP=∠HNP+∠BNM=90°，所以∠HPN=∠BNM，又因∠PHN=∠B=90°，所以可得到Rt△PNH∽R(shí)t△NMB，所以，∴，這樣就可得到關(guān)于x的方程，解之即可求出x的值，而所求面積的四邊形是一個(gè)直角梯形，所以．
解答：解：（1）M（4，1），D（，0）；（2分）

（2）∵PA=PB，
∴點(diǎn)P在線段AB的中垂線上，
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是1，
又∵點(diǎn)P在y=-x+上，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；（4分）

（3）設(shè)P（x，y），連接PN、MN、NF，
∵點(diǎn)P在y=-x+上，
∴P（x，-x+，
依題意知：PN⊥MN，F(xiàn)N⊥BC，F(xiàn)是圓心，
∴N是線段HB的中點(diǎn)，HN=NB=，PH=2-（-x+）=x+，BM=1，（6分）
∵∠HPN+∠HNP=∠HNP+∠BNM=90°，
∴∠HPN=∠BNM，
又∵∠PHN=∠B=90°，
∴Rt△PNH∽R(shí)t△NMB，
∴，
∴，
∴x²-12x+14=0，解得：x=6+舍去），x=6-，（8分）．  （9分）
點(diǎn)評(píng)：本題屬于一道典型的數(shù)形結(jié)合的題目，需利用一次函數(shù)的解析式結(jié)合圓的相關(guān)知識(shí)才可以解決問題．