Question

如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，E、F分別是邊AB和BC的中點(diǎn)，AC=2，點(diǎn)P為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，則PE+EF的最小值為

1+

3

2

．

Answer 1

分析：首先求出EF是定值，再將求PE+EF的最小值轉(zhuǎn)化為求PE的最小值．再利用垂線段最短的性質(zhì)和三角函數(shù)等知識(shí)求出PE的最小值即可．

解答：解：由題意可知EF為△ABC的中位線，由中位線定理可知EF=

1

2

AC=1為定值，
要使PE+EF最小只需PE最小，
由垂線段最短可知當(dāng)EP⊥AC時(shí)，PE最短．
∵∠BAC=120°，
∴∠B=60°．
又∵AB=BC，
∴△ABC為等邊三角形，
∴AB=AC=2，∠BAC=60°．
Rt△AEP中，AE=

1

2

AB=1，EP=AEsin60°=

3

2

，
∴PE+EF的最小值為；1+

3

2

．
故答案為：1+

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了軸對(duì)稱最短路徑，本題是求兩條線段的和的最小值，解本題的關(guān)鍵在于知道EF為定值．