Question

王亮同學(xué)善于改進(jìn)學(xué)習(xí)方法，他發(fā)現(xiàn)對解題過程進(jìn)行回顧反思，效果會(huì)更好．某一天他利用30分鐘時(shí)間進(jìn)行自主學(xué)習(xí)．假設(shè)他用于解題的時(shí)間x（單位：分鐘）與學(xué)習(xí)收益量y的關(guān)系如圖甲所示，用于回顧反思的時(shí)間x（單位：分鐘）與學(xué)習(xí)收益量y的關(guān)系如圖乙所示（其中OA是拋物線的一部分，A為拋物線的頂點(diǎn)），且用于回顧反思的時(shí)間不超過用于解題的時(shí)間．

（1）求王亮解題的學(xué)習(xí)收益量y與用于解題的時(shí)間x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）求王亮回顧反思的學(xué)習(xí)收益量y與用于回顧反思的時(shí)間x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）王亮如何分配解題和回顧反思的時(shí)間，才能使這30分鐘的學(xué)習(xí)收益總量最大？
（學(xué)習(xí)收益總量=解題的學(xué)習(xí)收益量+回顧反思的學(xué)習(xí)收益量）

Answer 1

分析：（1）設(shè)y=kx代入（2，4）可得k與y的值．x∈（15，30）
（2）設(shè)y=a（x-5）²+25，代（0，0）進(jìn)可得a=-1．則可以求出y的解．但要注意的是要分情況分條件．
（3）根據(jù)題意可得z=-（x-4）²+76可推出z隨著x的增大而減小．

解答：解：（1）設(shè)y=kx，把（2，4）代入，
得k=2．
∴y=2x．（1分）
自變量x的取值范圍是：
15≤x≤30．（2分）

（2）當(dāng)0≤x≤5時(shí)，設(shè)y=a（x-5）²+25，（3分）
把（0，0）代入，得
25a+25=0，a=-1．
∴y=-（x-5）²+25=-x²+10x．（5分）
當(dāng)5＜x≤15時(shí)，y=25（6分）
即

-x2+10x(0≤x≤5) 25(5＜x≤15)

．

（3）設(shè)王亮用于回顧反思的時(shí)間為x（0≤x≤15）分鐘，學(xué)習(xí)效益總量為Z，
則他用于解題的時(shí)間為（30-x）分鐘．
當(dāng)0≤x≤5時(shí)，Z=-x²+10x+2（30-x）=-x²+8x+60=-（x-4）²+76．（7分）
∴當(dāng)x=4時(shí)，Z_最大=76．（8分）
當(dāng)5＜x≤15時(shí)，Z=25+2（30-x）=-2x+85．（9分）
∵Z隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x=5時(shí)，Z_最大=75
綜合所述，當(dāng)x=4時(shí)，Z_最大=76，此時(shí)30-x=26．（10分）
即王亮用于解題的時(shí)間為（26分）鐘，用于回顧反思的時(shí)間為（4分）鐘時(shí)，學(xué)習(xí)收益總量最大．（11分）

點(diǎn)評：求二次函數(shù)的最大（小）值有三種方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法．運(yùn)用二次函數(shù)解決實(shí)際問題．