Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，將直角梯形ABCD放置在平面直角坐標系中．已知A（-2，0）、B（4，0）、D（0，3），反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象經(jīng)過點C．
（1）求反比例函數(shù)的解析式．
（2）將直角梯形ABCD繞點B沿順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，點A、C、D的對應(yīng)點分別為點A′、C′、D′，C′D′與反比例函數(shù)的圖象交于點E．
①求點D在旋轉(zhuǎn)過程中經(jīng)過的路徑長；
②連接CE、OC、OE，求△OCE的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點B和點D的坐標求出點C的坐標，將點C的坐標代入y=

k

x

，求出k的值即可；
（2）①連接BD，BD′，利用扇形弧長公式求出

DD′

的長即可；
②求出S_{四邊形OCEC′}和S_△OBC，利用S_{四邊形OCEC′}-S_△OBC求出S_△OCE的值．

解答：解：（1）∵D點縱坐標為3，
∴C點縱坐標3，
∵B點橫坐標為4，
∴C點橫坐標4，
∴C點坐標為（4，3）．
將（4，3）代入反比例函數(shù)y=

k

x

得，k=4×3=12，
故y=

12

x

．
（2）①連接BD，BD′．
∵OB=4，OD=3，
∴BD=

32+42

=5，
∴

DD′

=

90π5

180

=

5

2

π．
②∵OC′=4+3=7，
∴E點橫坐標為7，
當x=7時，y=

12

7

，
∴E點坐標為（7，

12

7

）．
S_{四邊形OCEC′}=S_△OBC+S_{四邊形BCEC′}=

1

2

×4×3+

1

2

×（

12

7

+3）=6+

33

14

=

117

14

；
S_△OBC=

1

2

×7×

12

7

=6，
∴S_△OCE=S_{四邊形OCEC′}-S_△OBC=

117

14

-6=

33

14

．

點評：本題考查了反比例函數(shù)解析式，涉及扇形的弧長、旋轉(zhuǎn)、勾股定理和三角形及梯形的面積，難度較大．