Question

對于二次函數(shù)y=x²-2mx-3，有下列說法：
①它的圖象與x軸有兩個公共點；
②若當(dāng)x≤1時y隨x的增大而減小，則m=1；
③若將它的圖象向左平移3個單位后過原點，則m=-1；
④若當(dāng)x=4時的函數(shù)值與x=2時的函數(shù)值相等，則當(dāng)x=6時的函數(shù)值為-3．
其中正確的說法是（ ）
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)△=4m²-4×（-3）=4m²+12＞0，根據(jù)△的意義對①進(jìn)行判斷；由a=1＞0得拋物線開口向上，拋物線對稱軸為直線x=-=m，由于當(dāng)x≤1時y隨x的增大而減小，則直線x=1在直線x=m的左側(cè)，于是可對②進(jìn)行判斷；配方得到y(tǒng)=（x-m）²-m²-3，則拋物線向左平移3個單位的解析式為y=（x-m+3）²-m²-3，把原點坐標(biāo)代入計算出m的值，則可對③進(jìn)行判斷；根據(jù)拋物線的對稱性由當(dāng)x=4時的函數(shù)值與x=2時的函數(shù)值相等得到拋物線的對稱軸為直線x=3，則m=3，所以拋物線解析式為y=x²-6x-3，然后計算x=6時的函數(shù)值，則可對④進(jìn)行判斷．
解答：解：∵△=4m²-4×（-3）=4m²+12＞0，∴拋物線與x軸有兩個公共點，所以①正確；
∵a=1＞0，∴拋物線開口向上，拋物線對稱軸為直線x=-=m，當(dāng)在對稱軸左側(cè)時，y隨x的增大而減小，而當(dāng)x≤1時y隨x的增大而減小，∴m≥1，所以②錯誤；
∵y=（x-m）²-m²-3，∴拋物線向左平移3個單位的解析式為y=（x-m+3）²-m²-3，把（0，O）代入得（m-3）²-m²-3=0，解得m=1，所以③錯誤；
∵當(dāng)x=4時的函數(shù)值與x=2時的函數(shù)值相等，∴拋物線的對稱軸為直線x=3，則x=m=3，∴拋物線解析式為y=x²-6x-3，當(dāng)x=6時的函數(shù)值為-3，所以④正確．
故選B．
點評：本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象為拋物線，當(dāng)a＞0，拋物線開口向上；對稱軸為直線x=-，拋物線頂點坐標(biāo)為（-，）；拋物線與y軸的交點坐標(biāo)為（0，c）；當(dāng)b²-4ac＞0，拋物線與x軸有兩個交點；當(dāng)b²-4ac=0，拋物線與x軸有一個交點；當(dāng)b²-4ac＜0，拋物線與x軸沒有交點．