Question

（2005•南充）如圖，△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O與AB相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F是BE的中點(diǎn)．
（1）DF與⊙O的位置關(guān)系是______（填“相切”或“相交”）．
（2）若AE=14，BC=12，BF的長(zhǎng)為______．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD、AD，根據(jù)已知及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，得OD是半徑且OD⊥DF，從而得到DF是⊙O的切線．
（2）設(shè)BF=x，BE=2BF=2x，根據(jù)切割線定理即可求得BF的長(zhǎng)．
解答：解：（1）DF與⊙O的位置關(guān)系是相切．
證明：連接OD，AD，
∵AC是直徑，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，∠BAD=∠DAC；
∵∠BED是圓內(nèi)接四邊形ACDE的外角，
∴∠C=∠BED，
∴∠B=∠BED，
即DE=DB；
∵點(diǎn)F是BE的中點(diǎn)，DF⊥AB且OA和OD是半徑，
∴∠DAC=∠BAD=∠ODA，
∴OD⊥DF，DF是⊙O的切線；

（2）設(shè)BF=x，BE=2BF=2x；
∵BD=CD=BC=6，
∵BE•AB=BD•BC，
∴2x•（2x+14）=6×12，
∴x²+7x-18=0，
∴x₁=2，x₂=-9（不合題意，舍去）
∴BF的長(zhǎng)為2．
點(diǎn)評(píng)：本題利用了等腰三角形的性質(zhì)，直徑對(duì)的圓周角是直角，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，切線的定義，切割線定理求解．