【題目】(1)如圖1,O是等邊△ABC內(nèi)一點,連接OA、OB、OC,且OA=3,OB=4,OC=5,將△BAO繞點B順時針旋轉(zhuǎn)后得到△BCD,連接OD.求:

旋轉(zhuǎn)角的度數(shù);

線段OD的長;

③∠BDC的度數(shù).

(2)如圖2所示,O是等腰直角△ABC(∠ABC=90°)內(nèi)一點,連接OA、OB、OC,將△BAO繞點B順時針旋轉(zhuǎn)后得到△BCD,連接OD.當OA、OB、OC滿足什么條件時,∠ODC=90°?請給出證明.

【答案】(1)①60°;②4;③150°;(2)OA2+2OB2=OC2時,∠ODC=90°,理由詳見解析.

【解析】

(1)△ABO旋轉(zhuǎn)后ABBC重合,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知∠ABC是旋轉(zhuǎn)角,由△ABC是等邊三角形即可知答案.②由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知OB=BD,根據(jù)旋轉(zhuǎn)角是60°可知∠OBD=60°即可證明△BOD是等邊三角形,進而求出OD的長.③根據(jù)OD=4,OC=5,CD=3可證明△OCD是直角三角形,根據(jù)△BOD是等邊三角形即可求出∠BDC得度數(shù).(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知旋轉(zhuǎn)角為90°,可證明三角形BOD是等腰直角三角形,進而求出OD= OB,根據(jù)△OCD是直角三角形即可知答案.

(1)①∵△ABC為等邊三角形,

∴BA=BC,∠ABC=60°,

∵△BAO繞點B順時針旋轉(zhuǎn)后得到△BCD,

∴∠OBD=∠ABC=60°,

旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為60°;

②∵△BAO繞點B順時針旋轉(zhuǎn)后得到△BCD,

∴BO=BD,

∠OBD=60°,

∴△OBD為等邊三角形;

∴OD=OB=4;

③∵△BOD為等邊三角形,

∴∠BDO=60°,

∵△BAO繞點B順時針旋轉(zhuǎn)后得到△BCD,

∴CD=AO=3,

△OCD中,CD=3,OD=4,OC=5,

∵32+42=52,

∴CD2+OD2=OC2,

∴△OCD為直角三角形,∠ODC=90°,

∴∠BDC=∠BDO+∠ODC=60°+90°=150°;

(2)OA2+2OB2=OC2時,∠ODC=90°.理由如下:

∵△BAO繞點B順時針旋轉(zhuǎn)后得到△BCD,

∴∠OBD=∠ABC=90°,BO=BD,CD=AO,

∴△OBD為等腰直角三角形,

∴OD=OB,

CD2+OD2=OC2時,△OCD為直角三角形,∠ODC=90°,

∴OA2+2OB2=OC2,

OA、OB、OC滿足OA2+2OB2=OC2時,∠ODC=90°.

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