【題目】(1)如圖①,OP是∠MON的平分線,點A為OM上一點,點B為OP上一點.請你利用該圖形在ON上找一點C,使△COB≌△AOB,請在圖①畫出圖形.參考這個作全等三角形的方法,解答下列問題:
(2)如圖②,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線,AD、CE相交于點F.請你寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(3)如圖③,在△ABC中,如果∠ACB不是直角,而(1)中的其他條件不變,在(2)中所得結(jié)論是否仍然成立?請你直接作出判斷,不必說明理由.
【答案】(1)畫圖見解析;(2)DF=EF,理由見解析;(3)DF=EF 仍然成立,理由見解析.
【解析】(1)在∠MON的兩邊上以O(shè)為端點截取相等的兩條相等的線段,兩個端點與角平分線上任意一點相連,所構(gòu)成的兩個三角形全等,即△COB≌△AOB;
(2)根據(jù)圖(1)的作法,在CG上截取CG=CD,證得△CFG≌△CFD(SAS),得出DF=GF;再根據(jù)ASA證明△AFG≌△AFE,得EF=FG,故得出EF=FD;
(3)根據(jù)圖(1)的作法,在CG上截取AG=AE,證得△EAF≌△GAF(SAS),得出FE=FG;再根據(jù)ASA證明△FDC≌△FGC,得DF=FG,故得出EF=FD.
解:(1)如圖①所示,△COB≌△AOB,點C即為所求.
(2)如圖②,在CG上截取CG=CD,
∵CE是∠BCA的平分線,
∴∠DCF=∠GCF,
在△CFG和△CFD中,
CG=CD,∠DCF=∠GCF,CF=CF,
∴△CFG≌△CFD(SAS),
∴DF=GF.
∵∠B=60°,AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線,
∴∠FAC=∠BAC,∠FCA=∠ACB,且∠EAF=∠GAF,
∴∠FAC+∠FCA=(∠BAC+∠ACB)==60°,
∴∠AFC=120°,
∴∠CFD=60°=∠CFG,
∴∠AFG=60°,
又∵∠AFE=∠CFD=60°,
∴∠AFE=∠AFG,
在△AFG和△AFE中,
∠AFE=∠AFG,AF=AF,∠EAF=∠GAF,
∴△AFG≌△AFE(ASA),
∴EF=GF,
∴DF=EF;
(3)DF=EF 仍然成立.
證明:如圖③,在CG上截取AG=AE,
同(2)可得△EAF≌△GAF(SAS),
∴FE=FG,∠EFA=∠GFA.
又由題可知,∠FAC=∠BAC,∠FCA=∠ACB,
∴∠FAC+∠FCA=(∠BAC+∠ACB)=60°,
∴∠AFC=180°﹣(∠FAC+∠FCA)=120°,
∴∠EFA=∠GFA=180°﹣120°=60°=∠DFC,
∴∠CFG=∠CFD=60°,
同(2)可得△FDC≌△FGC(ASA),
∴FD=FG,
∴FE=FD.
“點睛”此題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)的運用,全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具,在判定三角形全等時,關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件,要注意三角形間的公共邊和公共角,必要時添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)為了解某年級1200名學(xué)生每學(xué)期參加社會實踐活動時間,隨機對該年級50名學(xué)生進行了調(diào)查,結(jié)果如下表:
時間(天) | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
人 數(shù) | 1 | 2 | 4 | 5 | 7 | 11 | 8 | 6 | 4 | 2 |
(1)在這個統(tǒng)計中,眾數(shù)是 ,中位數(shù)是 ;
(2)補全下面的頻率分布表和頻率分布直方圖:
分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
3.5~5.5 | 3 | 0.06 |
5.5~7.5> | 9 | 0.18 |
7.5~9.5 | 0.36 | |
9.5~11.5 | 14 | |
11.5~13.5 | 6 | 0.12 |
合 計 | 50 | 1.00 |
(3)請你估算這所學(xué)校該年級的學(xué)生中,每學(xué)期參加社會實踐活動時間不少于9天的大約有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在平面直角坐標系中,半徑均為1個單位長度的半圓O1、O2、O3 , …組成一條平滑的曲線,點P從原點O出發(fā),沿這條曲線向右運動,速度為每秒 個單位長度,則第2017秒時,點P的坐標是( )
A.(2016,0)
B.(2017,1)
C.(2017,﹣1)
D.(2018,0)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知一個零刻度落在點A的量角器(半圓O)的直徑為AB,等腰直角△BCD繞點B旋轉(zhuǎn).
(1)如圖1,當(dāng)?shù)妊苯?/span>△BCD運動至斜邊BD交量角器邊緣于點G,直角邊CD交量角器邊緣于點E,F(xiàn),第三邊交量角器邊緣于點H時,點G在量角器上的讀數(shù)為20°,求此時點H在量角器上的讀數(shù).
(2)如圖2,當(dāng)點G,E在量角器上的讀數(shù)α,β滿足什么關(guān)系時,等腰直角△BCD的直角邊CD會與半圓O相切于點E?請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商店需要購進甲、乙兩種商品共180件,其進價和售價如表:(注:獲利=售價﹣進價)
甲 | 乙 | |
進價(元/件) | 14 | 35 |
售價(元/件) | 20 | 43 |
(1)若商店計劃銷售完這批商品后能獲利1240元,問甲、乙兩種商品應(yīng)分別購進多少件?
(2)若商店計劃投入資金少于5040元,且銷售完這批商品后獲利多于1312元,請問有哪幾種購貨方案?并直接寫出其中獲利最大的購貨方案.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如果一個凸多邊形除了一個內(nèi)角以外,其它內(nèi)角的和為2570°,求這個沒有計算在內(nèi)的內(nèi)角的度數(shù).
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