如圖，拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為直線x=1，與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中A（-1，0）、C（0，3）．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若此拋物線的頂點為P，將△BOC繞著它的頂點B順時針在第一象限內(nèi)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的角度為α，旋轉(zhuǎn)后的圖形為△BO′C′．
①當(dāng)O′C′∥CP時，求α的大��；
②△BOC在第一象限內(nèi)旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)后的△BO′C′有一邊與BP重合時，求△BO′C′不在BP上的頂點的坐標(biāo)．
（1）由題意得
-
b
2a
=1
a-b+c=0
c=3
，
解得
a=-1
b=2
c=3
．
所以，此拋物線的解析式為y=-x2+2x+3；

（2）①如圖，
頂點P為（1，4），CP=
12+12
=
2
，BC=
32+32
=3
2
，
BP=
22+42
=2
5
，
又因為CP2+BC2=PB2，
所以∠PCB=90°．
又因為O′C′∥CP，
所以O(shè)′C′⊥BC，
所以點O′在BC上，
所以α=45°．
②如備用圖1，
當(dāng)BC′與BP重合時，過點O′作O′D⊥OB于D．
因為∠PBC+∠CBO′=∠CBO′+∠ABO′=45°，
所以∠ABO′=∠PBC．
則△DBO′∽△CBP，
所以
BD
BC
=
O′D
PC
，
所以
BD
3
2
=
O′D
2
，
所以BD=3O′D．
設(shè)O′D=x，則BD=3x，根據(jù)勾股定理，得x2+（3x）2=32，
解得x=
3
10
10
，
所以BD=
9
10
10
，
所以點O′的坐標(biāo)為（3-
9
10
10
，
3
10
10
）．
如備用圖2，
當(dāng)BO′與BP重合時，過點B作x軸的垂線BE，過點C′作C′E⊥BE于E，
因為∠PBE+∠EBC′=∠PBE+∠CBP=45°，
所以∠EBC′=∠PBC．
所以△EBC′∽△CBP，
所以
BE
BC
=
C′E
PC
，
所以
BE
3
2
=
C′E
2
，
所以BE=3C′E．
設(shè)C′E為y，則BE=3y，根據(jù)勾股定理，
得y2+(3y)2=(3
2
)2，
解得y=
3
5
5
，
所以BE=
9
5
5
，
所以C′的坐標(biāo)為（3+
3
5
5
，
9
5
5
）．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖1，直線y=-
2
3
x+2與x軸、y軸分別交于B、C兩點，經(jīng)過B、C兩點的拋物線與x軸的另一交點坐標(biāo)為A（-1，0）．

（1）求B、C兩點的坐標(biāo)及該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）P在線段BC上的一個動點（與B、C不重合），過點P作直線a∥y軸，交拋物線于點E，交x軸于點F，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m，△BCE的面積為S．
①求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；
②求S的最大值，并判斷此時△OBE的形狀，說明理由；
（3）過點P作直線b∥x軸（圖2），交AC于點Q，那么在x軸上是否存在點R，使得△PQR為等腰直角三角形？若存在，請求出點R的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖：拋物線y=ax2-4ax+m與x軸交于A、B兩點，點A的坐標(biāo)是（1，0），與y軸交于點C．
（1）求拋物線的對稱軸和點B的坐標(biāo)；
（2）過點C作CP⊥對稱軸于點P，連接BC交對稱軸于點D，連接AC、BP，且∠BPD=∠BCP，求拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，設(shè)拋物線的頂點為G，連接BG、CG、求△BCG的面積．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

新星電子科技公司積極應(yīng)對2008年世界金融危機，及時調(diào)整投資方向，瞄準光伏產(chǎn)業(yè)，建成了太陽能光伏電池生產(chǎn)線．由于新產(chǎn)品開發(fā)初期成本高，且市場占有率不高等因素的影響，產(chǎn)品投產(chǎn)上市一年來，公司經(jīng)歷了由初期的虧損到后來逐步盈利的過程（公司對經(jīng)營的盈虧情況每月最后一天結(jié)算1次）．公司累積獲得的利潤y（萬元）與銷售時間第x（月）之間的函數(shù)關(guān)系式（即前x個月的利潤總和y與x之間的關(guān)系）對應(yīng)的點都在如圖所示的圖象上．該圖象從左至右，依次是線段OA、曲線AB和曲線BC，其中曲線AB為拋物線的一部分，點A為該拋物線的頂點，曲線BC為另一拋物線y=-5x2+205x-1230的一部分，且點A，B，C的橫坐標(biāo)分別為4，10，12．
（1）求該公司累積獲得的利潤y（萬元）與時間第x（月）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）直接寫出第x個月所獲得S（萬元）與時間x（月）之間的函數(shù)關(guān)系式（不需要寫出計算過程）；
（3）前12個月中，第幾個月該公司所獲得的利潤最多，最多利潤是多少萬元？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

如圖，三孔橋橫截面的三個孔都呈拋物線形，兩小孔形狀、大小都相同．正常水位時，大孔水面寬度AB=20m，頂點M距水面6m（即MO=6m），小孔頂點N距水面4.5m（即NC=4.5m）．當(dāng)水位上漲剛好淹沒小孔時，借助圖中的平面直角坐標(biāo)系，則此時大孔的水面寬度EF為______m．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

如圖，點A1、A2、A3、…、An在拋物線y=x2圖象點B1、B2、B3、…、Bn在y軸上，若△A1B0B1、△A2B1B2、…、△AnBn-1Bn都為等腰直角三角形（點B0是坐標(biāo)原點），則△A2012B2011B2012的腰長=______．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，直角梯形ABCD的頂點A、B、C的坐標(biāo)分別為（
1
2
，0）、（2，0）和（2，3），AB∥CD，∠C=90°，CD=CB．
（1）求點D的坐標(biāo)；
（2）拋物線y=ax2+bx+c過原點O與點（7，1），且對稱軸為過點（4，3）與y軸平行的直線，求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）中的拋物線上是否存在一點P，使得PA+PB+PC+PD最��？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，一個運動員推鉛球，鉛球在點A處出手，出手時球離地面約
5
3
m．鉛球落地點在B處，鉛球運行中在運動員前4m處（即OC=4）達到最高點，最高點高為3m．已知鉛球經(jīng)過的路線是拋物線，根據(jù)如圖所示的直角坐標(biāo)系，你能算出該運動員的成績嗎？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

用一段長為20米的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長為12米，這個矩形的長寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？

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同步練習(xí)冊答案