Question

在△ABC中，∠ACB=90°．經(jīng)過點(diǎn)B的直線l（l不與直線AB重合）與直線BC的夾角等于∠ABC，分別過點(diǎn)C、點(diǎn)A作直線l的垂線，垂足分別為點(diǎn)D、點(diǎn)E．
（1）若∠ABC=45°，CD=1（如圖），則AE的長(zhǎng)為______；
（2）寫出線段AE、CD之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；
（3）若直線CE、AB交于點(diǎn)F，，CD=4，求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先在直角三角形CDB中利用CD求得BC，然后在直角三角形ABC中求得AE即可；
（2）根據(jù)上題得到的結(jié)論猜想兩條線段之間具有二倍關(guān)系，證得△GCD∽△GAE后即可證明猜想正確．
（3）分當(dāng)點(diǎn)F在線段AB上時(shí)和點(diǎn)F在線段BA的延長(zhǎng)線上時(shí)利用△AGH∽△AEB求得線段BD的長(zhǎng)即可．
解答：（1）解：∵∠ABC=45°，
∴∠CBD=45°，
∵CD=1，
∴BC=，
∵∠ACB=90°，∠ABC=45°，
AE=2．

（2）線段AE、CD之間的數(shù)量關(guān)系為AE=2CD．
證明：如圖1，延長(zhǎng)AC與直線l交于點(diǎn)G．
依題意，可得∠1=∠2．
∵∠ACB=90°，
∴∠3=∠4．
∴BA=BG．∴CA=CG．…（3分）
∵AE⊥l，CD⊥l，
∴CD∥AE．
∴△GCD∽△GAE．
∴．
∴AE=2CD．

（3）解：當(dāng)點(diǎn)F在線段AB上時(shí)，如圖2，
過點(diǎn)C作CG∥l交AB于點(diǎn)H，交AE于點(diǎn)G．
∴∠2=∠HCB．
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠HCB．
∴CH=BH．
∵∠ACB=90°，
∴∠3+∠1=∠HCB+∠4=90°．
∴∠3=∠4．
∴CH=AH=BH．
∵CG∥l，
∴△FCH∽△FEB．
∴．
設(shè)CH=5x，BE=6x，則AB=10x．
∴在△AEB中，∠AEB=90°，AE=8x．
由（2）得，AE=2CD．
∵CD=4，
∴AE=8．
∴x=1．
∴AB=10，BE=6，CH=5．
∵CG∥l，
∴△AGH∽△AEB．
∴．
∴HG=3．…（5分）
∴CG=CH+HG=8．
∵CG∥l，CD∥AE，
∴四邊形CDEG為平行四邊形．
∴DE=CG=8．
∴BD=DE-BE=2．…（6分）
當(dāng)點(diǎn)F在線段BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3，
同理可得CH=5，GH=3，BE=6．
∴DE=CG=CH-HG=2．
∴BD=DE+BE=8．
∴BD=2或8．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似形綜合知識(shí)，題目中還涉及到了相似三角形的判定與性質(zhì)及解直角三角形的知識(shí)，難度較大，此類題目應(yīng)重點(diǎn)掌握．