(2008•莆田)如圖:拋物線經(jīng)過A(-3,0)、B(0,4)、C(4,0)三點.
(1)求拋物線的解析式.
(2)已知AD=AB(D在線段AC上),有一動點P從點A沿線段AC以每秒1個單位長度的速度移動;同時另一個動點Q以某一速度從點B沿線段BC移動,經(jīng)過t秒的移動,線段PQ被BD垂直平分,求t的值;
(3)在(2)的情況下,拋物線的對稱軸上是否存在一點M,使MQ+MC有最小值?若存在,請求出點M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.(注:拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為x=-

【答案】分析:(1)因為拋物線經(jīng)過的三點為與兩坐標(biāo)軸的交點,故有兩種方法(1)用一般式解答,(2)用交點式(兩點式)解答;
(2)找到變化過程中的不變關(guān)系:△CDQ∽△CAB,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算;
(3)因為A、C關(guān)于x=對稱,所以MQ+MC的最小值即為MQ+MA的最小值,根據(jù)兩點之間線段最短,A、M、Q共線時MQ+MC可取最小值.
解答:解:(1)解法一:設(shè)拋物線的解析式為
y=a(x+3)(x-4)
因為B(0,4)在拋物線上,
所以4=a(0+3)(0-4)
解得a=-
所以拋物線解析式為
y=-(x+3)(x-4)=-x2+x+4
解法二:設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c(a≠0),
依題意得:c=4且
解得
所以所求的拋物線的解析式為y=-x2+x+4.

(2)連接DQ,在Rt△AOB中,AB===5
所以AD=AB=5,AC=AO+CO=3+4=7,CD=AC-AD=7-5=2
因為BD垂直平分PQ,
所以PD=QD,PQ⊥BD,
所以∠PDB=∠QDB
因為AD=AB,
所以∠ABD=∠ADB,∠ABD=∠QDB,
所以DQ∥AB
所以∠CQD=∠CBA.∠CDQ=∠CAB,
所以△CDQ∽△CAB,=
=,DQ=
所以AP=AD-DP=AD-DQ=5-=
t=÷1=,
所以t的值是

(3)答:對稱軸上存在一點M,使MQ+MC的值最小
理由:因為拋物線的對稱軸為x=-=
所以A(-3,0),C(4,0)兩點關(guān)于直線x=對稱
連接AQ交直線x=于點M,則MQ+MC的值最小
∵過點Q作QE⊥x軸于E,
∴∠QED=∠BOA=90度
DQ∥AB,∠BAO=∠QDE,△DQE∽△ABO,==
==
所以QE=,DE=,
所以O(shè)E=OD+DE=2+=,
所以Q(,
設(shè)直線AQ的解析式為y=kx+m(k≠0)

由此得
所以直線AQ的解析式為y=x+
聯(lián)立
由此得
所以M(
則:在對稱軸上存在點M(,),使MQ+MC的值最。
點評:此題將用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、動點問題和最小值問題相結(jié)合,有較大的思維跳躍,考查了同學(xué)們的應(yīng)變能力和綜合思維能力,是一道好題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2009年湖北省黃石市陽新縣太子中學(xué)中考模擬數(shù)學(xué)試卷(3)(解析版) 題型:解答題

(2008•莆田)如圖:拋物線經(jīng)過A(-3,0)、B(0,4)、C(4,0)三點.
(1)求拋物線的解析式.
(2)已知AD=AB(D在線段AC上),有一動點P從點A沿線段AC以每秒1個單位長度的速度移動;同時另一個動點Q以某一速度從點B沿線段BC移動,經(jīng)過t秒的移動,線段PQ被BD垂直平分,求t的值;
(3)在(2)的情況下,拋物線的對稱軸上是否存在一點M,使MQ+MC有最小值?若存在,請求出點M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.(注:拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為x=-

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2009年廣東省湛江市中考數(shù)學(xué)模擬試卷(解析版) 題型:解答題

(2008•莆田)如圖:拋物線經(jīng)過A(-3,0)、B(0,4)、C(4,0)三點.
(1)求拋物線的解析式.
(2)已知AD=AB(D在線段AC上),有一動點P從點A沿線段AC以每秒1個單位長度的速度移動;同時另一個動點Q以某一速度從點B沿線段BC移動,經(jīng)過t秒的移動,線段PQ被BD垂直平分,求t的值;
(3)在(2)的情況下,拋物線的對稱軸上是否存在一點M,使MQ+MC有最小值?若存在,請求出點M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.(注:拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為x=-

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2008年福建省莆田市中考數(shù)學(xué)試卷(網(wǎng)絡(luò)卷)(解析版) 題型:解答題

(2008•莆田)如圖:拋物線經(jīng)過A(-3,0)、B(0,4)、C(4,0)三點.
(1)求拋物線的解析式.
(2)已知AD=AB(D在線段AC上),有一動點P從點A沿線段AC以每秒1個單位長度的速度移動;同時另一個動點Q以某一速度從點B沿線段BC移動,經(jīng)過t秒的移動,線段PQ被BD垂直平分,求t的值;
(3)在(2)的情況下,拋物線的對稱軸上是否存在一點M,使MQ+MC有最小值?若存在,請求出點M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.(注:拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為x=-

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2008年福建省莆田市中考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

(2008•莆田)如圖,拋物線c1:y=x2-2x-3與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C.點P為線段BC上一點,過點P作直線l⊥x軸于點F,交拋物線c1點E.
(1)求A、B、C三點的坐標(biāo);
(2)當(dāng)點P在線段BC上運動時,求線段PE長的最大值;
(3)當(dāng)PE為最大值時,把拋物線c1向右平移得到拋物線c2,拋物線c2與線段BE交于點M,若直線CM把△BCE的面積分為1:2兩部分,則拋物線c1應(yīng)向右平移幾個單位長度可得到拋物線c2?

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案