【題目】如圖1,點是的內(nèi)部一點,連接、和,如果、和中有兩個角相等,則稱是的“等心”.特別地,若這三個角都相等,則稱是的“恒等心”.
(1)在等邊中,點是恒等心,,則點到的距離是_______;
(2)如圖2,在中,,點是的外接圓外一點,連接,交于點,試判斷是不是的“等心”,并說明理由;
(3)如圖3,分別以銳角的邊、為邊向外做等邊和等邊,和相交于點,求證:點是的“恒等心”.
【答案】(1);(2)是的“等心”,理由見解析;(3)證明見解析.
【解析】
(1)先根據(jù)“恒等心”的定義求出,再根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)得出,然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得,最后解直角三角形即可得;
(2)先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得,再根據(jù)圓周角定理可得,從而可得,然后根據(jù)領(lǐng)補(bǔ)角的定義、等量代換可得,最后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得,從而可得,由此即可得證;
(3)如圖(見解析),先根據(jù)三角形全等的判定定理可得,從而根據(jù)三角形全等的性質(zhì)可得,再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得,從而可得,然后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得,又根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得,最后根據(jù)角的和差可得出,由此即可得證.
(1)如圖,過點P作于點D
由“恒等心”的定義得:
是等邊三角形
在和中,
(等腰三角形的三線合一)
在中,,即
解得
即點到的距離是2
故答案為:;
(2)如圖,連接PA、PB
由圓周角定理得:
又
由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可知,
是的“等心”;
(3)如圖,連接
和都是等邊三角形
,,
,即
在和中,
在和中,
,即
在和中,
則點是的“恒等心”.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某海域有A、B、C三艘船正在捕魚作業(yè),C船突然出現(xiàn)故障,向A、B兩船發(fā)出緊急求救信號,此時B船位于A船的北偏西72°方向,距A船24海里的海域,C船位于A船的北偏東33°方向,同時又位于B船的北偏東78°方向.
(1)求∠ABC的度數(shù);
(2)A船以每小時30海里的速度前去救援,問多長時間能到出事地點.(結(jié)果精確到0.01小時).
(參考數(shù)據(jù):≈1.414,≈1.732)
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【題目】新型冠狀病毒肺炎疫情發(fā)生后,全社會的積極參與疫情防控工作下,才有了我們的平安復(fù)學(xué).為了能在復(fù)學(xué)前將一批防疫物資送達(dá)校園,某運(yùn)輸公司組織了甲、乙兩種貨車,已知甲種貨車比乙種貨車每輛車多裝20箱防疫物資,且甲種貨車裝運(yùn)900箱防疫物資所用車輛與乙種貨車裝運(yùn)600箱防疫物資所用的車輛相等,求甲、乙兩種貨車每輛車可裝多少箱防疫物資?
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【題目】根據(jù)規(guī)定,我市將垃圾分為了四類:可回收垃圾、餐廚垃圾、有害垃圾和其他垃圾.現(xiàn)有投放這四類垃圾的垃圾桶各1個,若將用不透明垃圾袋分類打包好的兩袋不同垃圾隨機(jī)投人進(jìn)兩個不同的垃圾桶,投放正確的概率是________.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,、,將點繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到點,則過點的反比例函數(shù)關(guān)系式為( )
A.B.C.D.
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【題目】定義:對于平面直角坐標(biāo)系中的線段和點,在中,當(dāng)邊上的高為2時,稱為的“等高點”,稱此時為的“等高距離”.
(1)若點的坐標(biāo)為(1,2),點的坐標(biāo)為(4,2),則在點 (1,0),(,4), (0,3)中,的“等高點”是點___;
(2)若(0,0),=2,當(dāng)的“等高點”在軸正半軸上且“等高距離”最小時,點的坐標(biāo)是__.
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【題目】如圖,拋物線交軸于,兩點,交軸于點.直線經(jīng)過點,.
(1)求拋物線的解析式;
(2)過點的直線交直線于點.
①當(dāng)時,過拋物線上一動點(不與點,重合),作直線的平行線交直線于點,若以點,,,為頂點的四邊形是平行四邊形,求點的橫坐標(biāo);
②連接,當(dāng)直線與直線的夾角等于的倍時,請直接寫出點的坐標(biāo).
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【題目】如圖,已知點是反比例函數(shù)圖像上的一個動點,連接,若將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段,則過點的反比例函數(shù)解析式為__________.
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【題目】某校組織學(xué)生開展義務(wù)植樹活動,在活動結(jié)束后隨機(jī)調(diào)查了40名學(xué)生每人植樹的棵數(shù),根據(jù)調(diào)查獲取的樣本數(shù)據(jù),制作了條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖.請根據(jù)相關(guān)信息,解答下列問題:
(1)扇形圖中的值是_________;
(2)求隨機(jī)調(diào)查的40名學(xué)生每人植樹棵數(shù)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù);
(3)若本次活動九年級共有300名學(xué)生參加,估計植樹超過6棵(不含6棵)的學(xué)生約有多少人.
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