Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3．問：線段AB上是否存在點P，使得以P、A、D為頂點的三角形與以P、B、C為頂點的三角形相似？若存在，這樣的總共有幾個？并求出AP的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

存在  PA=；PA=1或PA=6 理由見解析

解析試題分析： 由于以P、A、D為頂點的三角形與以P、B、C為頂點的三角形相似時的對應點不能確定，故應分兩種情況討論．
解：存在．
∵AD∥BC，∠A=90°，
∴∠B=90°，
當△PAD∽△PBC時，
=
∵AB=AP+PB=7，AD=2，BC=3，
∴AP=①；
當△ADP∽△BPC時，
=
∵AB=AP+PB=7，AD=2，BC=3，
∴PA=1或PA=6②；
由①②可知，P點距離A點有三個位置：PA=；PA=1或PA=6．
考點：相似三角形的判定．
點評：本題考查的是相似三角形的判定，解答此題時要注意分類討論，不要漏解．