如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,-3),AB⊥x軸,垂足為B,將線段AB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段CD(其中點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)C、D).設(shè)直線AC與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)E、F.
(1)求經(jīng)過(guò)B、E、F的拋物線的解析式;
(2)若點(diǎn)M在(1)中的拋物線上,且點(diǎn)M到點(diǎn)B的距離與到點(diǎn)D的距離之差最大,求點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)若點(diǎn)G在直線AC上,且點(diǎn)G到點(diǎn)B的距離與到點(diǎn)D的距離之和最小,求此最小值.

【答案】分析:(1)根據(jù)已知得出B(1,0),C(-3,-1),D(0,-1),首先求出直線AC的解析式,進(jìn)而求出點(diǎn)E、F的坐標(biāo),再利用交點(diǎn)式求出解析式即可;
(2)首先求出直線BD的解析式為y=k1x+b1,再設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,m-1),代入二次函數(shù)解析式求出即可;
(3)首先得出△DGF∽△EOF,求出DP的長(zhǎng),再利用△DPQ∽△EFO,HO=PQ=,PH=OQ=,再利用勾股定理求出最小值BP即可.
解答:解:(1)由題意得B(1,0),C(-3,-1),D(0,-1).
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,則  
解得

∴點(diǎn)E、F的坐標(biāo)分別是(-5,0),(0,).
設(shè)所求拋物線的解析式為y=a(x-1)(x+5),
,即a=


(2)如圖1,連接BD并延長(zhǎng),與拋物線的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)M.
設(shè)直線BD的解析式為y=k1x+b1
則 
解得 
∴y=x-1.
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,m-1),
,
解得m1=-3,m2=1 (舍去).
即點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-3,-4).

(3)如圖2,作點(diǎn)D關(guān)于直線AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P,DP與AC相交于點(diǎn)G,連接BP.則BP長(zhǎng)即為所求的最小值.
由(1)知,OE=5,OF=,OD=1,
故DF=,EF=
∵∠DGF=∠EOF=90°,∠DFG=∠EFO,
∴△DGF∽△EOF.
,
∴DG=,GF=
∴DP=2DG=
作PQ⊥y軸,PH⊥x軸,垂足分別為Q、H.
同理可證△DPQ∽△EFO,
,
∴PQ=,DQ=
∴HO=PQ=,PH=OQ=

點(diǎn)評(píng):此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式和相似三角形的判定與性質(zhì),根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)得出BP長(zhǎng)即為所求的最小值是解題關(guān)鍵.
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精英家教網(wǎng)如圖,在平面直角坐標(biāo)中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OA=7,AB=4,∠COA=60°,點(diǎn)P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),但是點(diǎn)P不與點(diǎn)0、點(diǎn)A重合.連接CP,D點(diǎn)是線段AB上一點(diǎn),連接PD.
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)當(dāng)∠CPD=∠OAB,且
BD
AB
=
5
8
,求這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

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(2012•渝北區(qū)一模)如圖,在平面直角坐標(biāo)xoy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心,3為半徑畫(huà)圓,從此圓內(nèi)(包括邊界)的所有整數(shù)點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù))中任意選取一個(gè)點(diǎn),其橫、縱坐標(biāo)之和為0的概率是
5
29
5
29

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如圖,在平面直角坐標(biāo)中,等腰梯形ABCD的下底在x軸上,且B點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0),D點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3),則AC長(zhǎng)為
5
5

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如圖,在平面直角坐標(biāo)xOy中,已知點(diǎn)A(-5,0),P是反比例函數(shù)y=
k
x
圖象上一點(diǎn),PA=OA,S△PAO=10,則反比例函數(shù)y=
k
x
的解析式為( 。

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如圖,在平面直角坐標(biāo)中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OC=AB=4,BC=6,∠COA=45°,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā),在梯形OABC的邊上運(yùn)動(dòng),路徑為O→A→B→C,到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止.作直線CP.
(1)求梯形OABC的面積;
(2)當(dāng)直線CP把梯形OABC的面積分成相等的兩部分時(shí),求直線CP的解析式;
(3)當(dāng)△OCP是等腰三角形時(shí),請(qǐng)寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)(不要求過(guò)程,只需寫(xiě)出結(jié)果).

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