Question

如圖，已知點(diǎn)A（12，0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是線(xiàn)段OA上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)O，A），過(guò)P、O兩點(diǎn)的二次函數(shù)y₁和過(guò)P、A兩點(diǎn)的二次函數(shù)y₂的圖象開(kāi)口均向下，它們的頂點(diǎn)分別為B、C，射線(xiàn)OB與AC相交于點(diǎn)D．當(dāng)OD=AD=8時(shí)，這兩個(gè)二次函數(shù)的最大值之和等于（ ）

A．5
B．2
C．8
D．6

Answer 1

【答案】分析：過(guò)B作BF⊥OA于F，過(guò)D作DE⊥OA于E，過(guò)C作CM⊥OA于M，則BF+CM是這兩個(gè)二次函數(shù)的最大值之和，BF∥DE∥CM，求出AE=OE=6，DE=2．設(shè)P（2x，0），根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性得出OF=PF=x，推出△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，得出=，=，代入求出BF和CM，相加即可求出答案．
解答：解：過(guò)B作BF⊥OA于F，過(guò)D作DE⊥OA于E，過(guò)C作CM⊥OA于M，
∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，
∴BF∥DE∥CM，
∵OD=AD=8，DE⊥OA，
∴OE=EA=OA=6，
由勾股定理得：DE==2．
設(shè)P（2x，0），根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性得出OF=PF=x，
∵BF∥DE∥CM，
∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，
∴=，=，
∵AM=PM=（OA-OP）=（12-2x）=6-x，
即=，=，
解得：BF=x，CM=2-x，
∴BF+CM=2．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)的最值，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，以及相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，題目比較好，但是有一定的難度，屬于綜合性試題．