Question

25、如圖1、圖2，已知菱形ABCD，∠B=60°，M、N分別是BD、CD上一點，連接AM、AN．
（1）如圖1，當M、N分別是BC、CD中點時，求證：AM=AN；
（2）如圖2，當BM=CN時，求∠MAN的度數(shù)；
（3）如圖3，若將條件改為：已知菱形ABCD，∠B=α°（∠B是銳角，α是常數(shù)），M是線段BD上一點，N是直線CD上一點，設∠BAM=x°，∠DAN=y°．探究并說明當x、y滿足怎樣的數(shù)量關系時，線段AM=AN．

Answer 1

分析：（1）首先連接AC，由四邊形ABCD是菱形，即可得AB=BC=CD=AC，AC平分∠BCD，又由∠B=60°，證得△ABC是等邊三角形，由三線合一，即可得AM⊥BC，同理AN⊥CD，即可得AM=AN；
（2）連AC，由（1）得△ABC和△ACD是等邊三角形，則可證得△ABM≌△ACN，即可求得∠MAN的度數(shù)；
（3）①如圖3，由菱形ABCD關于直線AC軸對稱，顯然當DN=BM時，△ABM≌△ADN，得AM=AN，∠BAM=∠DAN，即x=y，注意此時AN與AM關于直線AC軸對稱；又由②如圖4，若AN=AM，且AN不是AM關于直線，AC軸對稱線段時，作DN₁=BM，由①得∠DAN₁=∠BAM=x°，AM=AN₁，則可得∠DAN=∠NAN₁+∠DAN₁=180°-2（x°+α°）+x°，整理即可得：x+y=180-2α．

解答：解：（1）連接AC，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AC，AC平分∠BCD，
又∵∠B=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∵M是BC中點，
∴AM⊥BC，
同理：AN⊥CD，
∴AM=AN；

（2）連AC，由（1）得△ABC和△ACD是等邊三角形，
∴AC=AB，∠ACD=∠B=∠BAC=60°，
又∵BM=CN，
∴△ABM≌△ACN，
∴∠BAM=∠CAN，
∵∠BAM+∠CAM=∠BAC=60°，
∴∠CAN+∠CAM=60°，
即∠MAN=60°；

（3）當x=y或x+y=180-2α時，線段AM=AN，
解法1：①如圖3，因為菱形ABCD關于直線AC軸對稱，顯然當DN=BM時，△ABM≌△ADN，
得AM=AN，∠BAM=∠DAN，即x=y，
（此時AN與AM關于直線AC軸對稱）
②如圖4，若AN=AM，且AN不是AM關于直線，
AC軸對稱線段時，作DN₁=BM，
由①得∠DAN₁=∠BAM=x°，AM=AN₁，
∴AN=AN₁，
∴∠ANN₁=∠AN₁N=∠DAN₁+∠D=x°+α°，
∴∠NAN₁=180°-2（x°+α°），
∴∠DAN=∠NAN₁+∠DAN₁=180°-2（x°+α°）+x°，
即y=180°-2（x°+α°）+x°，
整理得：x+y=180-2α．
解法2：①如圖3，當x=y時，∠BAM=∠DAN，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠B=∠ADC，
∴△ABM≌△ADN，
∴AM=AN．
②如圖5，當x+y=180-2α時，
即∠BAM+∠DAN=180°-2∠B，
作AE⊥BC于E，作AF⊥CD于F，連AC，
得∠EAF+∠BCD=180°，AC平分∠BCD，
∴AE=AF，
∵∠B+∠BCD=∠B+∠BAD=180°，
∴∠EAF=∠B=α°，
∠BAM+∠DAN+∠MAN=180°-∠B，
∵∠BAM+∠DAN=180°-2∠B，
∴∠MAN=∠B=α°，
∴∠EAF=∠MAN，
∴∠MAE=∠NAF，
∴△AME≌△ANF，
∴AM=AN．

點評：此題考查了菱形的性質，等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質等知識．此題綜合性很強，解題的關鍵是注意方程思想與數(shù)形結合思想的應用．