Question

已知拋物線y＝ax²＋bx＋c經(jīng)過(guò)O（0，0），A（4，0），B（3，3）三點(diǎn)，連接AB，過(guò)點(diǎn)B作BC∥軸交拋物線于點(diǎn)C．動(dòng)點(diǎn)E、F分別從O、A兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)E沿線段OA以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F沿折線A→B→C以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)E、F有一個(gè)點(diǎn)到達(dá)目的點(diǎn)即停止全部運(yùn)動(dòng)．設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．

【小題1】求拋物線的解析式
【小題2】記△EFA的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值；
【小題3】是否存在這樣的t值，使△EFA是直角三角形？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【小題1】根據(jù)題意得-------------1分
解得，所以-----------------2分
【小題2】過(guò)點(diǎn)B作BM⊥x軸于M，

則BM=3，OM=3，∵OA=4，所以AM=1，
AB=．
當(dāng)時(shí)，,過(guò)點(diǎn)F作FH⊥x軸，因?yàn)?br />,∴，
------------4分
當(dāng)時(shí)，如圖，
------------6分
當(dāng)時(shí)，處取得面積最大值，最大值為，
當(dāng)時(shí), 處取得面積最大值，最大值為，
綜上，所以當(dāng)x=2時(shí)，取得面積最大值．------------8分
【小題3】當(dāng)時(shí)，
若∠EFA=90°,可得，得，即，得,

此時(shí)，點(diǎn)．------------10分
當(dāng)∠FEA=90°時(shí)，可得，得，
即，得,
此時(shí)，點(diǎn)．------------12分
當(dāng)時(shí)，∠FEA一定為鈍角，符合題意的三角形不存在．------------14分解析:
（1）將三點(diǎn)的坐標(biāo)代入，利用待定系數(shù)法求解即可得出答案．
（2）過(guò)點(diǎn)B作BM⊥x軸于M構(gòu)建Rt△ABM，由點(diǎn)B的坐標(biāo)可以求得BM=，OM=3，由點(diǎn)A的坐標(biāo)可以求得OA=4，根據(jù)圖形可知AM=1，在該三角形中利用勾股定理可以求得AB=2，所以根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系可以推知∠BAM=60°；最后根據(jù)t的不同取值范圍進(jìn)行分類討論，并求得相應(yīng)的S的值，通過(guò)比較即可求得S的最大值；
（3）需要分類討論：①當(dāng)0≤t≤2時(shí)，若∠EFA=90°，此時(shí)∠FEA=30°，在直角三角形中根據(jù)三角函數(shù)的定義可以求得t=，據(jù)此可以求得相應(yīng)的電E、F的坐標(biāo)；
②當(dāng)∠FEA=90°時(shí)，此時(shí)∠EFA=30°，在直角三角形中根據(jù)三角函數(shù)的定義可以求得t=，故這種情況不存在；
③當(dāng)2＜t≤4時(shí)，有t-2+t=3，即t=2.5，據(jù)此可以求得相應(yīng)的電E、F的坐標(biāo)．