Question

已知：如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點P，PD⊥AC于點D．
（1）求證：PD是⊙O的切線；
（2）若∠CAB=120°，AB=2，求BC的值．

Answer 1

（1）證明：連接AP，OP，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B，
又∵OP=OB，∠OPB=∠B，
∴∠C=∠OPB，
∴OP∥AD；
又∵PD⊥AC于D，
∴∠ADP=90°，
∴∠DPO=90°，
∵以AB為直徑的⊙O交BC于點P，
∴PD是⊙O的切線．

（2）解：連接AP，
∵AB是直徑，
∴∠APB=90°；
∵AB=AC=2，∠CAB=120°，
∴∠BAP=60°，
∴BP=，
∴BC=2．
分析：（1）連接OP，要證明PD是⊙O的切線只要證明∠DPO=90°即可；
（2）連接AP，根據已知可求得BP的長，從而可求得BC的長．
點評：本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為半徑），再證垂直即可．