如圖,四邊形ABCD為邊長等于4的菱形,∠ABC=60°,點M為邊AD上一點,點N為邊DC上一點,且AM=DN.
(1)AM=DN=3時,求△BMN的面積;
(2)是否存在一點M和點N,使△BMN的面積等于
5
3
2
?若存在,請指出點M和點N的位置;若不存在,請說明理由.
分析:(1)在Rt△AEB中求出BE,在Rt△NCF中求出NF,繼而得出GN,則S△BMN=S菱形ABCD-S△ABM-S△MDN-S△BCN,代入計算即可.
(2)設(shè)AM=DN=x,則分別表示出BE,NF,GN,根據(jù)(1)的思路表示出△BMN的面積,從而建立方程求解即可.
解答:解:(1)過點B作BE⊥DA,交DA延長線于點E,過點N作NF⊥BC,交BC的延長線于點F,延長FN交AD于點G,
∵∠ABC=60°,四邊形ABCD是菱形,
∴∠ABE=30°,∠FCN=60°,
又∵四邊形ABCD為邊長等于4,
∴AE=2,BE=2
3

∵AM=DN=3,
∴CN=CD-DN=1,
∴CF=
1
2
,NF=
3
2
,
∴GN=GF-NF=BE-NF=
3
3
2
,
∴S△BMN=S菱形ABCD-S△ABM-S△MDN-S△BCN=4×2
3
-
1
2
×3×2
3
-
1
2
×1×
3
3
2
-
1
2
×4×
3
2
=
13
3
4
;

(2)存在一點M和點N,使△BMN的面積等于
5
3
2

設(shè)AM=DN=x,則DM=4-x,CN=4-x,
在Rt△CNF中,∠CNF=30°,
∴NF=
3
2
(4-x),
∴GN=2
3
-
3
2
(4-x),
∴S△BMN=S菱形ABCD-S△ABM-S△MDN-S△BCN
=4×2
3
-
1
2
×x×2
3
-
1
2
×(4-x)×[2
3
-
3
2
(4-x)]-
1
2
×4×
3
2
(4-x)
=-
3
4
x2-
3
x+4
3

=-
3
4
(x-2)2+5
3
,
∴當(dāng)x=2時,△BMN的面積最大,最大值為5
3

此時M、N分別在AD、CD的中點處.
點評:本題考查了四邊形的綜合題,解答本題的關(guān)鍵是作出輔助線,利用解直角三角形的知識得出有關(guān)線段的長度表達式,注意利用“轉(zhuǎn)化法”表示不規(guī)則圖形的面積.
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如圖,四邊形ABCD的對角線AC與BD互相垂直平分于點O,設(shè)AC=2a,BD=2b,請推導(dǎo)這個四邊形的性質(zhì).(至少3條)
(提示:平面圖形的性質(zhì)通常從它的邊、內(nèi)角、對角線、周長、面積等入手.)

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