Question

已知：如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，O是AB上一點，以O為圓心，OB為半徑的圓與AB交于點E，與AC切于點D，連接DB，DE，OC．
（1）從圖中找出一對相似三角形（不添加任何字母和輔助線），并證明你的結論；
（2）若AD=2，AE=1，求CD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）△BCO∽△DBE，首先容易得出∠BDE=∠CBO=90°，再利用垂徑定理可知OC⊥BD，那么∠DBE+∠BOC=90°，而∠DEB+∠DBE=90°，故∠DEB=∠BOC，那么△BCO∽△DBE；
（2）先根據切割線定理可求出AB，在Rt△ABC中，利用勾股定理可以求出CD．
解答：解：（1）△BCO∽△DBE．
∵∠BDE=90°，∠CBO=90°，
∴∠BDE=∠CBO，
又∵OC⊥BD，
∴∠DEB+∠DBE=∠DBE+∠BOC=90°，
∴∠DEB=∠BOC，
∴△BCO∽△DBE；

（2）∵AD²=AE•AB，AD=2，AE=1，
∴AB=4，
∵CD=CB，∠ABC=90°，設CD的長為x，
則（x+2）²=x²+4²，
解得x=3，即CD=3．
點評：此題綜合考查了切線的性質、相似三角形的判定、勾股定理、垂徑定理等知識．