Question

已知，如圖22­11拋物線y＝ax²＋3ax＋c(a>0)與y軸交于點C，與x軸交于A，B兩點，點A在點B左側．點B的坐標為(1,0)，OC＝3OB.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點D是線段AC下方拋物線上的動點，求四邊形ABCD面積的最大值；

(3)若點E在x軸上，點P在拋物線上．是否存在以A，C，E，P為頂點且以AC為一邊的平行四邊形？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：(1)∵OC＝3OB，B(1,0)，∴C(0，－3)．

把點B，C的坐標代入y＝ax²＋3ax＋c，得

∴y＝x²＋x－3.

(2)如圖D86.過點D作DM∥y軸分別交線段AC和x軸于點M，N.

S_{四邊形ABCD}＝S_△ABC＋S_△ACD

＝＋×DM×(AN＋ON)

＝＋2DM，

∵A(－4,0)，C(0，－3)，

設直線AC的解析式為y＝kx＋b，

代入，求得y＝－x－3.

＝－(x＋2)²＋3，

當x＝－2時，DM有最大值3.

此時四邊形ABCD面積有最大值為.

          

圖D86                       　圖D87

(3)如圖D87，討論：①過點C作CP₁∥x軸交拋物線于點P₁，過點P₁作P₁E₁∥AC交x軸于點E₁，

此時四邊形ACP₁E₁為平行四邊形．

∵C(0，－3)，令x²＋x－3＝－3，

∴x＝0或x＝－3.∴P₁(－3，－3)．

②平移直線AC交x軸于點E，交x軸上方的拋物線于點P，當AC＝PE時，四邊形ACEP為平行四邊形，∵C(0，－3)，

∴可令P(x,3)，由x²＋x－3＝3，得x²＋3x－8＝0.

解得

此時存在點

綜上所述，存在3個點符合題意，坐標分別是P₁(－3，－3)，