問題：任意給定一個(gè)矩形，是否存在另一個(gè)矩形，它的周長和面積分別是已知矩形周長和面積的一半？
討論：小明說：一定存在．
小華說：一定不存在．
小紅說：不一定存在．
探究：老師和大家一起舉例說明：（1）如果已知矩形的長和寬和面積分別為7和1，那么它的周長和面積分別16和7，則所求的矩形周長和面積應(yīng)為8和3.5；
問題轉(zhuǎn)化為：周長為8，面積為3.5的矩形是否存在？
我們假設(shè)所求矩形的長為x，固定它的周長為8，則它的寬為______
可列出方程______
解得：______
所以：______
（2）①如果矩形的長和寬分別為5和1，這時(shí)情況如何？
②綜上所得，你認(rèn)為______的說法正確．

（1）設(shè)所求矩形的長為x，固定它的周長為8，則它的寬為 4-x，
可列出方程 x（4-x）=3.5
解得：x1=2+，x2=2-
所以：矩形的長為2+．
（2）①如果矩形的長和寬分別為5和1，則矩形的周長為12，面積為5，
∴新矩形的周長為6，面積為2.5．
設(shè)所求矩形的長為x，固定它的周長為6，則它的寬為 3-x，
可列出方程 x（3-x）=2.5
△＜0，沒有實(shí)數(shù)根
所以不存在這樣的矩形；
②由以上兩個(gè)結(jié)論可得小紅的說法正確；
故答案為：（1）4-x；x（4-x）=3.5；x1=2+，x2=2-；矩形的長為2+．
（2）②小紅．
分析：設(shè)出新矩形的一邊長為未知數(shù)，根據(jù)周長表示出另一邊長，根據(jù)面積得到方程求解即可．
點(diǎn)評：考查一元二次方程在幾何圖形中的應(yīng)用；用到的知識點(diǎn)為：矩形的一邊長=周長的一半-另一邊長．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

探索一個(gè)問題：“任意給定一個(gè)矩形A，是否存在另一個(gè)矩形B，它的周長和面積分別是已知矩形周長和面積的一半”（完成下列空格）
（1）當(dāng)已知矩形A的邊長分別為6和1時(shí)，小亮同學(xué)是這樣研究的：設(shè)所求矩形的兩邊分別是x和y，精英家教網(wǎng)由題意得方程組：
x+y=
7
2
xy=3
，消去y化簡得：2x2-7x+6=0，
∵△=49-48＞0，∴x1=
 
，x2=
 
．∴滿足要求的矩形B存在．
（2）如果已知矩形A的邊長分別為2和1，請你仿照小亮的方法研究是否存在滿足要求的矩形B．
（3）如果矩形A的邊長為m和n，請你研究滿足什么條件時(shí)，矩形B存在？
（4）如圖，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的部分圖象，其中x和y分別表示矩形B的兩邊長，請你結(jié)合剛才的研究，回答下列問題：
①這個(gè)圖象所研究的矩形A的兩邊長為
 
和
 
；
②滿足條件的矩形B的兩邊長為
 
和
 
．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

20、探索這樣一個(gè)問題：“任意給定一個(gè)矩形A，是否存在矩形B，它的周長和面積分別是已知矩形周長和面積的一半？”
（1）當(dāng)已知矩形A的邊長分別為6和1時(shí)，小明是這樣研究的：設(shè)所求矩形的一邊長為x，則另一邊長為（3.5-x），由題意得方程：x（3.5-x）=3即 x2-3.5x+3=0．∵△=（3.5）2-4×（2）1×（3）3=0.25＞0∴x1=
2
x2=
1.5
∴滿足要求的矩形B存在．
（2）如果已知矩形A的邊長分別為2和1，請你仿照小明的方法研究是否存在滿足要求的矩形B．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

學(xué)以致用
問題：任意給定一個(gè)矩形，是否存在另一個(gè)矩形，它的周長和面積分別是已知矩形周長和面積的一半？
討論：小明說：一定存在．
小華說：一定不存在．
小紅說：不一定存在．
探究：老師和大家一起舉例說明：（1）如果已知矩形的長和寬和面積分別為7和1，那么它的周長和面積分別16和7，則所求的矩形周長和面積應(yīng)為8和3.5；
問題轉(zhuǎn)化為：周長為8，面積為3.5的矩形是否存在？
我們假設(shè)所求矩形的長為x，固定它的周長為8，則它的寬為
 

可列出方程
 

解得：
 

所以：
 

（2）①如果矩形的長和寬分別為5和1，這時(shí)情況如何？
②綜上所得，你認(rèn)為
 
的說法正確．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•西城區(qū)模擬）探索一個(gè)問題：“任意給定一個(gè)矩形A，是否存在另一個(gè)矩形B，它的周長和面積分別是已知矩形周長和面積的一半？”
（1）完成下列空格：
當(dāng)已知矩形A的邊長分別為6和1時(shí)，小明是這樣研究的：設(shè)所求矩形的一邊是x，則另一邊為（
7
2
-x），由題意得方程：x（
7
2
-x）=3，化簡得：2x2-7x+6=0
∵b2-4ac=49-48＞0，∴x1=
2
2
，x2=
3
2
3
2
．
∴滿足要求的矩形B存在．
小紅的做法是：設(shè)所求矩形的兩邊分別是x和y，由題意得方程組：
x+y=
7
2
xy=3
消去y化簡后也得到：2x2-7x+6=0，（以下同小明的做法）
（2）如果已知矩形A的邊長分別為2和1，請你仿照小明或小紅的方法研究是否存在滿足要求的矩形B．
（3）在小紅的做法中，我們可以把方程組整理為：
y=
7
2
-x
y=
3
x
，此時(shí)兩個(gè)方程都可以看成是函數(shù)解析式，從而我們可以利用函數(shù)圖象解決一些問題．如圖，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的部分圖象，其中x和y分別表示矩形B的兩邊長，請你結(jié)合剛才的研究，回答下列問題：（完成下列空格）
①這個(gè)圖象所研究的矩形A的面積為
8
8
；周長為
18
18
．
②滿足條件的矩形B的兩邊長為
9+
17
4
9+
17
4
和
9-
17
4
9-
17
4
．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：2012年北師大版九年級第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

探索一個(gè)問題：“任意給定一個(gè)矩形A，是否存在另一個(gè)矩形B，它的周長和面積分別是已知矩形周長和面積的一半？”
（1）完成下列空格：
當(dāng)已知矩形A的邊長分別為6和1時(shí)，小明是這樣研究的：設(shè)所求矩形的一邊是x，則另一邊為（-x），由題意得方程：x（-x）=3，化簡得：2x2-7x+6=0
∵b2-4ac=49-48＞0，∴x1=______，x2=______．
∴滿足要求的矩形B存在．
小紅的做法是：設(shè)所求矩形的兩邊分別是x和y，由題意得方程組：消去y化簡后也得到：2x2-7x+6=0，（以下同小明的做法）
（2）如果已知矩形A的邊長分別為2和1，請你仿照小明或小紅的方法研究是否存在滿足要求的矩形B．
（3）在小紅的做法中，我們可以把方程組整理為：，此時(shí)兩個(gè)方程都可以看成是函數(shù)解析式，從而我們可以利用函數(shù)圖象解決一些問題．如圖，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的部分圖象，其中x和y分別表示矩形B的兩邊長，請你結(jié)合剛才的研究，回答下列問題：（完成下列空格）
①這個(gè)圖象所研究的矩形A的面積為______；周長為______．
②滿足條件的矩形B的兩邊長為______

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